10. sınıf matematik 1. dönem 1. yazılı 8. senaryo Test 1

P(x) = $x^3 + ax^2 - x + 2$ polinomunun x+2 ile tam bölünebilmesi için a ne olmalıdır?

A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir polinomun başka bir polinoma tam bölünebilmesi koşulunu inceleyeceğiz. Bu tür soruları çözerken Kalan Teoremi'ni kullanmak bize büyük kolaylık sağlar.

• Adım 1: Kalan Teoremi'ni Hatırlayalım

  Kalan Teoremi der ki: Bir $P(x)$ polinomunun $(x-k)$ ile bölümünden kalan $P(k)$'dir. Eğer bir polinom $(x-k)$ ile tam bölünüyorsa, bu durumda kalan sıfır olmalıdır, yani $P(k) = 0$ olmalıdır. Bu, bizim için çok önemli bir ipucudur!

• Adım 2: Bölme İşlemini Tanımlayalım

  Bize verilen polinom $P(x) = x^3 + ax^2 - x + 2$. Bu polinomun $(x+2)$ ile tam bölünmesi isteniyor. Kalan Teoremi'ne göre, bölen $(x+2)$ ifadesini $(x-k)$ şeklinde düşünürsek, $k = -2$ olduğunu görürüz. Tam bölünebilme koşulu gereği, $P(-2)$ değeri sıfır olmalıdır. Yani, $P(-2) = 0$ eşitliğini sağlamalıyız.

• Adım 3: $P(x)$ Polinomunda $x$ yerine $-2$ Yazalım

  Şimdi $P(x)$ polinomunda $x$ gördüğümüz her yere $-2$ yazarak $P(-2)$ değerini bulalım:

  $P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) + 2$

• Adım 4: İfadeyi Sadeleştirelim

  Hesaplamaları dikkatlice yapalım:

  $(-2)^3 = -8$

  $(-2)^2 = 4$

  $-(-2) = +2$

  Bu değerleri yerine koyarsak, ifademiz şu hale gelir:

  $P(-2) = -8 + a(4) + 2 + 2$

  $P(-2) = -8 + 4a + 4$

  $P(-2) = 4a - 4$

• Adım 5: Kalanı Sıfıra Eşitleyelim ve $a$ Değerini Bulalım

  Tam bölünebilme koşuluna göre $P(-2)$ sıfır olmalıydı. O halde bulduğumuz $4a - 4$ ifadesini sıfıra eşitleyelim ve $a$ değerini çözelim:

  $4a - 4 = 0$

  Eşitliğin her iki tarafına $4$ ekleyelim:

  $4a = 4$

  Şimdi her iki tarafı $4$'e bölelim:

  $a = \frac{4}{4}$

  $a = 1$

Böylece, polinomun $x+2$ ile tam bölünebilmesi için $a$ değerinin $1$ olması gerektiğini bulduk. Gördüğünüz gibi, Kalan Teoremi sayesinde bu tür problemleri çok daha hızlı ve kolay çözebiliriz!

Cevap E seçeneğidir.