Bursluluk Sınavı Matematik Hazırlığı: 8. Sınıf Konu Özetleri ve Testler Test 1

Aşağıdaki ifadelerden hangisi özdeşliktir?

A) $x + 2 = 5$
B) $2x - 3 = 7$
C) $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
D) $x^2 - 4 = 0$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Özdeşlik kavramını anlamak, matematikte çok önemlidir. Bir ifadenin özdeşlik olup olmadığını anlamak için, o eşitliğin değişkenin her değeri için doğru olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• Özdeşlik Nedir?

  Özdeşlik, bir eşitliğin içindeki değişkenlere hangi değeri verirsek verelim, eşitliğin her zaman doğru kalması durumudur. Yani, eşitliğin sol tarafı ile sağ tarafı her zaman birbirine eşittir. Eğer eşitlik sadece belirli değerler için doğruysa, o bir denklemdir.

• A) $x + 2 = 5$ ifadesini inceleyelim:

  Bu eşitliğin doğru olması için $x$'in hangi değerde olması gerekir? $x = 3$ olduğunda $3 + 2 = 5$ olur. Ancak $x$'in $3$ dışındaki başka bir değeri için (örneğin $x = 1$ için $1 + 2 = 3 \neq 5$) bu eşitlik doğru değildir. Bu nedenle, bu bir denklemdir, özdeşlik değildir.

• B) $2x - 3 = 7$ ifadesini inceleyelim:

  Bu eşitliği çözmek için $-3$'ü karşıya atarız: $2x = 7 + 3 \Rightarrow 2x = 10$. Her iki tarafı $2$'ye bölersek $x = 5$ buluruz. Bu eşitlik sadece $x = 5$ değeri için doğrudur. $x$'in başka bir değeri için doğru değildir. Bu nedenle, bu da bir denklemdir, özdeşlik değildir.

• C) $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ifadesini inceleyelim:

  Bu ifadede eşitliğin sol tarafını açalım. $(x + 1)^2$ ifadesi, bir tam kare özdeşliğidir. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ kuralını hatırlayalım. Burada $a=x$ ve $b=1$ alırsak:

  $(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2$

  $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

  Gördüğümüz gibi, eşitliğin sol tarafını açtığımızda, sağ taraftaki ifadeyle tamamen aynı sonucu elde ettik. Bu, $x$'e hangi değeri verirsek verelim, eşitliğin her zaman doğru olacağı anlamına gelir. Örneğin, $x=0$ için $(0+1)^2 = 1^2 = 1$ ve $0^2 + 2(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$. $x=2$ için $(2+1)^2 = 3^2 = 9$ ve $2^2 + 2(2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$. Her zaman eşitlik sağlanır. Bu nedenle, bu bir özdeşliktir.

• D) $x^2 - 4 = 0$ ifadesini inceleyelim:

  Bu eşitliği çözmek için $-4$'ü karşıya atarız: $x^2 = 4$. Hangi sayıların karesi $4$ eder? $x = 2$ veya $x = -2$. Bu eşitlik sadece bu iki değer için doğrudur. $x$'in başka bir değeri için (örneğin $x=1$ için $1^2 - 4 = -3 \neq 0$) doğru değildir. Bu nedenle, bu da bir denklemdir, özdeşlik değildir.

Sonuç olarak, verilen ifadelerden sadece C seçeneğindeki eşitlik, $x$'in tüm değerleri için doğrudur ve bu nedenle bir özdeşliktir.

Cevap C seçeneğidir.