Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bizden bir özdeşlik olan ifadeyi bulmamız isteniyor. Öncelikle "özdeşlik" ve "denklem" kavramlarını hatırlayalım:
- Denklem: İçindeki değişkenin (bilinmeyenin) belirli değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Örneğin, $x+2=5$ denklemi sadece $x=3$ için doğrudur.
- Özdeşlik: İçindeki değişkenin alabileceği tüm gerçek sayılar için daima doğru olan eşitliklerdir. Bir özdeşlikte, eşitliğin her iki tarafı da birbirine denktir ve aynı ifadeyi temsil eder.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $x + 2 = 5$
- Bu ifadeyi çözdüğümüzde $x = 5 - 2 \Rightarrow x = 3$ sonucunu buluruz.
- Bu eşitlik sadece $x=3$ değeri için doğrudur. $x$'in başka bir değeri için (örneğin $x=1$ için $1+2=3 \neq 5$) doğru değildir. Bu nedenle bu bir denklemdir, özdeşlik değildir.
- B) $2x + 3 = 7$
- Bu ifadeyi çözdüğümüzde $2x = 7 - 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$ sonucunu buluruz.
- Bu eşitlik sadece $x=2$ değeri için doğrudur. $x$'in başka bir değeri için doğru değildir. Bu nedenle bu bir denklemdir, özdeşlik değildir.
- C) $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
- Bu ifadenin sol tarafını açalım: $(x + 1)^2$ ifadesi bir tam kare açılımıdır ve $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ formülü ile açılır.
- Buna göre, $(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$ olur.
- Gördüğümüz gibi, eşitliğin sol tarafı ($x^2 + 2x + 1$) sağ tarafına ($x^2 + 2x + 1$) tamamen eşittir.
- Bu eşitlik, $x$'in hangi değeri alınırsa alınsın daima doğru olacaktır. Örneğin, $x=0$ için $(0+1)^2 = 0^2 + 2(0) + 1 \Rightarrow 1 = 1$. $x=2$ için $(2+1)^2 = 2^2 + 2(2) + 1 \Rightarrow 3^2 = 4 + 4 + 1 \Rightarrow 9 = 9$.
- Bu nedenle bu bir özdeşliktir.
- D) $x - 1 = 0$
- Bu ifadeyi çözdüğümüzde $x = 1$ sonucunu buluruz.
- Bu eşitlik sadece $x=1$ değeri için doğrudur. $x$'in başka bir değeri için doğru değildir. Bu nedenle bu bir denklemdir, özdeşlik değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $x$'in tüm değerleri için doğru olan tek ifade C seçeneğindeki $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ eşitliğidir.
Cevap C seçeneğidir.
