Bir kenarı $x$ cm olan kare şeklindeki bir kağıttan, bir kenarı $y$ cm olan dört eş kare kesilip çıkarılıyor. Kalan alanı ifade eden cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x-2y)(x+2y)$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kağıttan belirli parçalar kesildikten sonra kalan alanı cebirsel olarak ifade etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu ifadeyi bulalım:
Bize verilen bilgiye göre, başlangıçtaki kağıt kare şeklindedir ve bir kenarının uzunluğu $x$ cm'dir. Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Bu durumda, başlangıçtaki büyük karenin alanı:
Alan = $x \times x = x^2$ cm$^2$ olur.
Kağıttan, bir kenarı $y$ cm olan dört eş kare kesilip çıkarılıyor. Önce bir tane küçük karenin alanını bulalım:
Bir küçük karenin alanı = $y \times y = y^2$ cm$^2$ olur.
Dört eş kare kesilip çıkarıldığına göre, çıkarılan toplam alan, bir küçük karenin alanının 4 katı olacaktır:
Kesilip çıkarılan toplam alan = $4 \times y^2 = 4y^2$ cm$^2$ olur.
Kalan alanı bulmak için, başlangıçtaki büyük karenin alanından, kesilip çıkarılan toplam alanı çıkarmamız gerekir:
Kalan Alan = (Başlangıçtaki Büyük Karenin Alanı) - (Kesilip Çıkarılan Toplam Alan)
Kalan Alan = $x^2 - 4y^2$ cm$^2$ olur.
Bulduğumuz $x^2 - 4y^2$ ifadesi, matematikte "iki kare farkı" olarak bilinen bir özdeşlik formülüne benziyor. İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Bizim ifademizde $a = x$ ve $b^2 = 4y^2$ şeklindedir. Bu durumda $b = \sqrt{4y^2} = 2y$ olur.
Şimdi bu özdeşliği kullanarak ifademizi açalım:
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$
Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğindeki ifade ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
