Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda benzer üçgenlerin önemli bir özelliğini kullanarak büyük üçgenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Benzer Üçgenlerde Kenar Oranı ve Alan Oranı İlişkisi:
İki üçgen benzer olduğunda, karşılıklı kenarlarının oranına benzerlik oranı denir. Bu oranı genellikle $k$ ile gösteririz. Eğer benzerlik oranı $k$ ise, bu üçgenlerin alanlarının oranı $k^2$ olur. Yani, $\frac{\text{Alan}_1}{\text{Alan}_2} = (\frac{\text{Kenar}_1}{\text{Kenar}_2})^2 = k^2$.
- 2. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Küçük üçgenin bir kenarının, büyük üçgenin karşılıklı kenarına oranı $2:3$ olarak verilmiş. Bu durumda benzerlik oranımız $k = \frac{2}{3}$'tür.
- Küçük üçgenin alanı $36 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş.
- Bizden büyük üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
- 3. Alan Oranını Hesaplayalım:
Benzerlik oranı $k = \frac{2}{3}$ olduğuna göre, alanların oranı $k^2$ olacaktır:
$k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Bu oran, $\frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}}$ oranına eşittir.
- 4. Büyük Üçgenin Alanını Bulalım:
Şimdi bildiğimiz değerleri oran denklemine yerleştirelim:
$\frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = \frac{4}{9}$
$\frac{36}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = \frac{4}{9}$
İçler dışlar çarpımı yaparak büyük üçgenin alanını bulabiliriz:
$4 \times (\text{Büyük üçgenin alanı}) = 36 \times 9$
$4 \times (\text{Büyük üçgenin alanı}) = 324$
Her iki tarafı 4'e bölelim:
$\text{Büyük üçgenin alanı} = \frac{324}{4}$
$\text{Büyük üçgenin alanı} = 81 \text{ cm}^2$.
Gördüğünüz gibi, benzer üçgenlerin kenar ve alan oranları arasındaki ilişkiyi kullanarak büyük üçgenin alanını kolayca bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
