9. Sınıf Bir Üçgene Eş ve Benzer Üçgenler Oluşturma Örnekleri, Konu Özeti Test 1

10. ABC ve DEF benzer üçgenlerdir. |AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| = k'dir.
ABC üçgeninin çevresi 24 cm, DEF üçgeninin çevresi 36 cm olduğuna göre, k oranı kaçtır?

A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda benzer üçgenlerin çevreleri arasındaki ilişkiyi kullanarak benzerlik oranını bulacağız. Benzer üçgenlerin en önemli özelliklerinden biri, kenar uzunlukları arasındaki oranın (benzerlik oranı) çevre uzunlukları arasındaki orana eşit olmasıdır. Şimdi adım adım çözümleyelim:

• 1. Benzer Üçgenlerin Özelliklerini Hatırlayalım:

  ABC ve DEF üçgenleri benzer olduğuna göre, karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir ve bu oran benzerlik oranı $k$'ye eşittir. Soruda bu bilgi bize zaten verilmiş:

  $|AB|/|DE| = |BC|/|EF| = |AC|/|DF| = k$

  Bu eşitlikten, her bir kenar uzunluğunu diğer üçgenin kenarı ve $k$ cinsinden yazabiliriz:

  • $|AB| = k \cdot |DE|$
  • $|BC| = k \cdot |EF|$
  • $|AC| = k \cdot |DF|$
• 2. Üçgenlerin Çevrelerini İfade Edelim:

  Bir üçgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Verilen üçgenlerin çevrelerini yazalım:

  • ABC üçgeninin çevresi: $Ç_{ABC} = |AB| + |BC| + |AC|$
  • DEF üçgeninin çevresi: $Ç_{DEF} = |DE| + |EF| + |DF|$

  Soruda bu çevrelerin değerleri bize verilmiş:

  • $Ç_{ABC} = 24$ cm
  • $Ç_{DEF} = 36$ cm
• 3. Çevreler Arasındaki İlişkiyi Kuralım:

  Şimdi ABC üçgeninin çevresi ifadesinde, 1. adımda bulduğumuz kenar uzunlukları eşitliklerini yerine yazalım:

  $Ç_{ABC} = (k \cdot |DE|) + (k \cdot |EF|) + (k \cdot |DF|)$

  Bu ifadede $k$ ortak çarpan olduğu için parantez dışına alabiliriz:

  $Ç_{ABC} = k \cdot (|DE| + |EF| + |DF|)$

  Dikkat ederseniz, parantez içindeki ifade DEF üçgeninin çevresine eşittir ($Ç_{DEF} = |DE| + |EF| + |DF|$). O halde, bu ifadeyi yerine yazabiliriz:

  $Ç_{ABC} = k \cdot Ç_{DEF}$

  Bu önemli bir sonuçtur: Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı, benzerlik oranına eşittir.

• 4. $k$ Oranını Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz $Ç_{ABC} = k \cdot Ç_{DEF}$ eşitliğinde verilen çevre değerlerini yerine yazalım:

  $24 = k \cdot 36$

  $k$ oranını bulmak için her iki tarafı 36'ya bölelim:

  $k = 24 / 36$

  Bu kesri sadeleştirelim. Hem 24 hem de 36, 12'ye bölünebilir:

  $24 \div 12 = 2$

  $36 \div 12 = 3$

  Böylece $k$ oranı:

  $k = 2/3$ olarak bulunur.

Bu durumda, benzerlik oranı $k = 2/3$'tür.

Cevap B seçeneğidir.