Bir spor kulübünde 120 üye bulunmaktadır. 70 üye futbol, 60 üye basketbol oynamaktadır. 20 üye ise her iki sporu da oynamamaktadır. Evrensel küme tüm üyeleri temsil ettiğine göre, yalnızca basketbol oynayan kaç üye vardır?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir spor kulübündeki üyelerin spor tercihleri hakkında bilgi verilmiş. Bu tür problemleri kümeler yardımıyla kolayca çözebiliriz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim
- Kulüpteki toplam üye sayısı (Evrensel küme, $E$): $120$
- Futbol oynayan üye sayısı ($F$): $70$
- Basketbol oynayan üye sayısı ($B$): $60$
- Her iki sporu da oynamayan üye sayısı (Ne futbol ne basketbol, $(F \cup B)'$): $20$
- Bizden istenen: Yalnızca basketbol oynayan üye sayısı.
- 2. Adım: En Az Bir Spor Yapan Üye Sayısını Bulalım
- Toplam üye sayısından, hiçbir sporu yapmayan üye sayısını çıkarırsak, en az bir spor yapan üye sayısını buluruz. Bu, futbol veya basketbol oynayanların toplamıdır ($F \cup B$).
- $|F \cup B| = |E| - |(F \cup B)'|$
- $|F \cup B| = 120 - 20 = 100$ üye.
- Demek ki, kulüpteki $100$ üye futbol, basketbol veya her ikisini birden oynamaktadır.
- 3. Adım: Her İki Sporu da Yapan Üye Sayısını (Kesişim) Bulalım
- Kümelerde birleşme formülünü hatırlayalım: $|F \cup B| = |F| + |B| - |F \cap B|$
- Bu formülde bilinen değerleri yerine yazalım:
- $100 = 70 + 60 - |F \cap B|$
- $100 = 130 - |F \cap B|$
- Şimdi, her iki sporu da yapan üye sayısını ($|F \cap B|$) bulmak için denklemi çözelim:
- $|F \cap B| = 130 - 100$
- $|F \cap B| = 30$ üye.
- Bu, $30$ üyenin hem futbol hem de basketbol oynadığı anlamına gelir.
- 4. Adım: Yalnızca Basketbol Oynayan Üye Sayısını Bulalım
- Yalnızca basketbol oynayan üyeleri bulmak için, toplam basketbol oynayan üye sayısından, hem futbol hem de basketbol oynayan üye sayısını çıkarmamız gerekir.
- Yalnızca basketbol oynayanlar = $|B| - |F \cap B|$
- Yalnızca basketbol oynayanlar = $60 - 30$
- Yalnızca basketbol oynayanlar = $30$ üye.
Bu adımları takip ederek, yalnızca basketbol oynayan üye sayısının $30$ olduğunu bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
