Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, farklı şekillerde yazılmış üslü sayıları karşılaştırmamız ve aralarından en büyüğünü bulmamız isteniyor. Üslü sayıları karşılaştırmanın en etkili yollarından biri, ya hepsini aynı tabana çevirmek ya da her birinin değerini doğrudan hesaplamaktır. Bu sorudaki tüm sayılar $2$'nin kuvvetleri şeklinde ifade edilebildiği için, hepsini $2$ tabanında yazmak karşılaştırmayı çok daha kolay ve anlaşılır hale getirecektir. Haydi adım adım inceleyelim:
- A) $2^{10}$: Bu sayı zaten $2$ tabanında verilmiştir. Değerini hesaplarsak, $2$'yi $10$ kez kendisiyle çarpmamız gerekir: $2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 1024$.
- B) $4^4$: Öncelikle $4$ sayısını $2$ tabanında yazalım. Biliyoruz ki $4 = 2^2$. Şimdi bu ifadeyi $4^4$ yerine koyalım: $4^4 = (2^2)^4$. Üslü sayılarda kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır. Yani, genel kuralımız $(a^m)^n = a^{m \times n}$ şeklindedir. Bu kuralı uygulayarak $4^4$ sayısını $2$ tabanında ifade edebiliriz: $4^4 = 2^{2 \times 4} = 2^8$. Şimdi değerini hesaplayalım: $2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$.
- C) $8^3$: Benzer şekilde, $8$ sayısını $2$ tabanında yazalım: $8 = 2^3$. Bu ifadeyi $8^3$ yerine koyalım: $8^3 = (2^3)^3$. Yine kuvvetin kuvveti kuralını kullanarak üsleri çarparız: $8^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9$. Değerini hesaplayalım: $2^9 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 512$.
- D) $16^2$: Son olarak, $16$ sayısını $2$ tabanında yazalım: $16 = 2^4$. Bu ifadeyi $16^2$ yerine koyalım: $16^2 = (2^4)^2$. Üsleri çarparız: $16^2 = 2^{4 \times 2} = 2^8$. Değerini hesaplayalım: $2^8 = 256$.
Şimdi tüm sayıların değerlerini veya $2$ tabanındaki karşılıklarını bir araya getirelim ve karşılaştıralım:
- A) $2^{10} = 1024$
- B) $4^4 = 2^8 = 256$
- C) $8^3 = 2^9 = 512$
- D) $16^2 = 2^8 = 256$
Bu değerleri karşılaştırdığımızda, en büyük sayının $1024$ olduğunu açıkça görebiliriz. Bu değer A seçeneğindeki $2^{10}$ sayısına aittir.
Cevap C seçeneğidir.
