Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktası olabilmesi için gerekli (ancak yeterli olmayan) bir koşuldur?
A) Fonksiyonun sürekli olması
B) Fonksiyonun türevinin o noktada 0 olması veya tanımsız olması
C) Fonksiyonun limitinin olması
D) Fonksiyonun tek fonksiyon olması
Fonksiyonların yerel maksimum ve minimum noktalarını bulmak, matematiğin ve özellikle deCalculus'un önemli bir konusudur. Bu tür noktalara "yerel ekstremum noktaları" da denir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Fonksiyonun sürekli olması: Bir fonksiyonun sürekli olması, yerel maksimum veya minimum noktası olabilmesi için gerekli bir koşul değildir. Bir fonksiyon süreksiz olsa bile belirli noktalarda yerel maksimum veya minimum değerlere sahip olabilir. Örneğin, köşeli noktalarda süreksiz olan fonksiyonlar yerel ekstremumlar barındırabilir.
- B) Fonksiyonun türevinin o noktada 0 olması veya tanımsız olması: İşte bu doğru cevabımız! Eğer bir fonksiyonun bir noktada yerel maksimum veya minimumu varsa, o noktadaki türevi ya 0'dır ya da tanımsızdır. Türevin 0 olduğu noktalar, fonksiyonun grafiğinin yatay teğet olduğu noktalardır. Türevin tanımsız olduğu noktalar ise genellikle keskin dönüşlerin veya dikey teğetlerin olduğu noktalardır. Ancak unutmayın, türevin 0 veya tanımsız olması, o noktanın kesinlikle yerel maksimum veya minimum olduğu anlamına gelmez. Bu sadece bir aday noktadır. Bu nedenle bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. Örneğin, $f(x) = x^3$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = 3x^2$'dir ve $x=0$ noktasında $f'(0) = 0$ olur, fakat $x=0$ noktası bu fonksiyon için bir yerel maksimum veya minimum noktası değildir.
- C) Fonksiyonun limitinin olması: Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması, o noktada yerel maksimum veya minimuma sahip olması için gerekli bir koşul değildir. Limit var olsa bile fonksiyon o noktada ekstremum değer almayabilir.
- D) Fonksiyonun tek fonksiyon olması: Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması (yani $f(-x) = -f(x)$ koşulunu sağlaması), yerel maksimum veya minimum noktası olabilmesi için herhangi bir gereklilik taşımaz. Tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir, ancak bu durum yerel ekstremumların varlığı hakkında doğrudan bir bilgi vermez.
Açıklamalardan da anlaşılacağı üzere, bir fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktası olabilmesi için gerekli (ancak yeterli olmayan) koşul, fonksiyonun türevinin o noktada 0 olması veya tanımsız olmasıdır.
Cevap B seçeneğidir.
