Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için türev kavramlarını ve bunların bir fonksiyonun grafiği üzerindeki etkilerini adım adım, anlaşılır bir şekilde inceleyelim.
- 1. Birinci Türev ($f'(x)$) Ne Anlatır?
- Bir fonksiyonun birinci türevi, o fonksiyonun grafiğinin herhangi bir noktasındaki eğimini gösterir.
- Eğer $f'(x) > 0$ ise fonksiyon o aralıkta artandır (grafik yukarı doğru çıkar).
- Eğer $f'(x) < 0$ ise fonksiyon o aralıkta azalandır (grafik aşağı doğru iner).
- 2. İkinci Türev ($f''(x)$) Ne Anlatır?
- İkinci türev, birinci türevin türevidir. Yani, fonksiyonun eğiminin nasıl değiştiğini gösterir.
- Bir başka deyişle, ikinci türev grafiğin bükülme yönünü veya konkavlığını belirler.
- 3. İkinci Türevin Pozitif Olması ($f''(x) > 0$) Ne Demektir?
- Soruda bize ikinci türevin pozitif olduğu aralıklar soruluyor: $f''(x) > 0$.
- $f''(x) > 0$ olması demek, birinci türevin ($f'(x)$) artıyor olması demektir. Yani, fonksiyonun eğimi sürekli olarak artmaktadır.
- Şimdi bu durumu görselleştirelim:
- Eğim artıyorsa, grafik üzerindeki teğet doğruların eğimleri soldan sağa doğru gidildikçe daha büyük değerler alır.
- Örneğin, önce çok dik negatif bir eğimden (grafik hızla aşağı inerken), sonra daha az negatif bir eğime, sonra sıfır eğime (yatay teğet), sonra pozitif bir eğime ve en sonunda daha dik pozitif bir eğime (grafik hızla yukarı çıkarken) doğru bir geçiş yaşanır.
- Bu durum, grafiğin bir "kase" veya "U" harfi gibi yukarı doğru açıldığını gösterir.
- İşte bu şekle yukarı konkav veya dışbükey denir. Grafik, sanki bir kaseyi yukarı doğru tutuyormuş gibi görünür.
- 4. Karşılaştırma (Ek Bilgi):
- Eğer $f''(x) < 0$ olsaydı, bu durumda birinci türev ($f'(x)$) azalıyor olurdu. Eğim azaldığında, grafik aşağı doğru bükülürdü ve bu duruma aşağı konkav veya içbükey denir (bir kaseyi ters çevirmiş gibi).
Özetle, bir fonksiyonun ikinci türevinin pozitif olduğu aralıklarda, fonksiyonun eğimi artar ve grafik yukarı doğru bükülür. Bu da grafiğin yukarı konkav (dışbükey) bir şekle sahip olduğu anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
