Limit hız formülü 11. sınıf Test 1

Bir cismin limit hızı 20 m/s olarak ölçülüyor. Eğer cismin kütlesi iki katına çıkarılırsa, limit hızı (diğer koşullar sabit kalmak şartıyla) yaklaşık olarak ne olur? (Hava direnci $F_D = kv^2$ ile orantılı)

A) 10 m/s
B) 14 m/s
C) 20 m/s
D) 28 m/s
E) 40 m/s

• Limit Hızı Kavramı: Bir cisim düşerken üzerine etki eden iki temel kuvvet vardır: yer çekimi kuvveti (aşağı doğru) ve hava direnci kuvveti (yukarı doğru). Cisim hızlandıkça hava direnci artar. Hava direnci, yer çekimi kuvvetine eşit olduğunda net kuvvet sıfır olur ve cisim sabit bir hızla düşmeye devam eder. Bu hıza limit hızı denir.
• Kuvvetlerin Dengesi: Limit hızda, yer çekimi kuvveti ($F_g$) ile hava direnci kuvveti ($F_D$) birbirine eşittir.
  • Yer çekimi kuvveti: $F_g = mg$ (burada $m$ cismin kütlesi, $g$ yer çekimi ivmesi)
  • Hava direnci kuvveti: $F_D = kv^2$ (soruda verildiği gibi, $k$ bir sabit, $v$ hız)
  Bu durumda, limit hız ($v_t$) için $mg = kv_t^2$ denklemini yazabiliriz.
• Başlangıç Durumu:
  • Cismin başlangıç kütlesi $m_1 = m$ olsun.
  • Başlangıç limit hızı $v_{t1} = 20 \text{ m/s}$ olarak verilmiş.
  • Denklemimiz: $m_1g = kv_{t1}^2 \implies mg = k(20)^2 \implies mg = 400k$. (Denklem 1)
• Yeni Durum (Kütle İki Katına Çıkarıldığında):
  • Cismin yeni kütlesi $m_2 = 2m$ olur.
  • Yeni limit hızı $v_{t2}$ olsun.
  • Denklemimiz: $m_2g = kv_{t2}^2 \implies (2m)g = kv_{t2}^2$. (Denklem 2)
• Denklemleri Birleştirme ve Çözüm:
  • Denklem 1'den $mg = 400k$ ifadesini Denklem 2'deki $mg$ yerine koyalım:
  • $2(400k) = kv_{t2}^2$
  • $800k = kv_{t2}^2$
  • Her iki tarafı $k$ sabitine bölelim (çünkü $k$ sıfır olamaz):
  • $800 = v_{t2}^2$
  • $v_{t2} = \sqrt{800}$
  • Bu ifadeyi sadeleştirelim: $v_{t2} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{400} \times \sqrt{2} = 20\sqrt{2} \text{ m/s}$.
  • $\sqrt{2}$ yaklaşık olarak $1.414$ olduğu için: $v_{t2} \approx 20 \times 1.414 = 28.28 \text{ m/s}$.
• Sonuç: Kütle iki katına çıkarıldığında limit hız yaklaşık olarak $28 \text{ m/s}$ olur.

Cevap D seçeneğidir.