Birim çember üzerinde \( \theta = \frac{2\pi}{3} \) radyan olan bir nokta veriliyor.
Bu noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
B) \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
C) \( \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
D) \( \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulma sorusunu adım adım çözelim. Bu tür sorular, trigonometri ve birim çember kavramlarını ne kadar iyi anladığımızı gösterir.
- Birim Çember ve Koordinatlar: Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(x, y)$ ise, bu nokta ile başlangıç noktasını birleştiren doğru parçasının pozitif x-ekseni ile yaptığı açı $\theta$ olmak üzere, $x = \cos(\theta)$ ve $y = \sin(\theta)$ formülleriyle bulunur.
- Verilen Açıyı Belirleme: Soruda verilen açı $\theta = \frac{2\pi}{3}$ radyandır. Bu açıyı derece cinsinden düşünmek, hangi bölgede olduğunu anlamamıza yardımcı olabilir. $\pi$ radyan $180^\circ$'ye eşit olduğundan, $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \times 180^\circ}{3} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ olur.
- Bölgeyi Tespit Etme: $120^\circ$ açısı, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasındadır. Bu da noktanın birim çemberin ikinci bölgesinde yer aldığını gösterir. İkinci bölgede $x$ koordinatı (kosinüs değeri) negatif, $y$ koordinatı (sinüs değeri) ise pozitiftir.
- Kosinüs Değerini Hesaplama ($x$ koordinatı):
- $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ değerini bulmalıyız.
- $\frac{2\pi}{3}$ açısı ikinci bölgede olduğu için, referans açısını kullanarak hesaplama yaparız. Referans açısı $\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$'tür.
- $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz.
- İkinci bölgede kosinüs negatif olduğu için, $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ olur.
- Sinüs Değerini Hesaplama ($y$ koordinatı):
- $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ değerini bulmalıyız.
- Referans açımız yine $\frac{\pi}{3}$'tür.
- $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz.
- İkinci bölgede sinüs pozitif olduğu için, $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olur.
- Koordinatları Belirleme: Buna göre, noktanın koordinatları $(x, y) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ olarak bulunur.
- Seçeneklerle Karşılaştırma: Bulduğumuz koordinatlar $\left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ A seçeneği ile eşleşmektedir. Ayrıca, ikinci bölgede $x$ negatif, $y$ pozitif olmalıydı. Seçeneklere baktığımızda sadece A seçeneği bu koşulu sağlamaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
