A) $f(2) = 4$ B) $f(2) = 2$ C) $f(2) = 0$ D) $f(2) = 1$ E) $f(2) = -4$
Fonksiyonu İnceleyelim: Bize verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ şeklindedir.
Süreksizlik Noktasını Belirleyelim: Bir fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerler, o noktada fonksiyonu tanımsız yapar ve genellikle bir süreksizliğe yol açar. Burada payda $x - 2$'dir. Paydayı sıfır yapan değer $x - 2 = 0 \implies x = 2$'dir. Dolayısıyla $x = 2$ noktasında fonksiyon tanımsızdır ve bir süreksizlik mevcuttur.
Kaldırılabilir Süreksizlik Nedir? Bir fonksiyonun $x=a$ noktasındaki süreksizliğinin kaldırılabilir olması için, $\lim_{x \to a} f(x)$ limitinin var olması ve sonlu bir değere sahip olması gerekir. Eğer bu limit varsa, fonksiyonu $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ olarak tanımlayarak veya yeniden tanımlayarak süreksizliği kaldırabiliriz. Bu durumda fonksiyon $x=a$ noktasında sürekli hale gelir.
Fonksiyonu Sadeleştirelim ve Limiti Hesaplayalım:
Öncelikle pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım. $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliği olan $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ kullanılarak $(x - 2)(x + 2)$ şeklinde yazılabilir.
Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım: $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$.
$x \neq 2$ olduğu sürece, pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimleri sadeleşebilir. Bu durumda fonksiyon $f(x) = x + 2$ halini alır (ancak $x=2$ noktasında hala tanımsız olduğunu unutmayalım).
Şimdi $x \to 2$ için fonksiyonun limitini hesaplayalım: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2)$.
Bu limiti hesaplamak için $x$ yerine $2$ koyabiliriz: $2 + 2 = 4$.
Süreksizliği Kaldırmak İçin Gerekli Değer: Limitin değeri $4$ olduğuna göre, $x=2$ noktasındaki süreksizliği kaldırılabilir yapmak için $f(2)$ değerini bu limite eşit olarak tanımlamamız gerekir. Yani, $f(2) = 4$ olarak tanımlanırsa, fonksiyon $x=2$ noktasında sürekli hale gelir.
Seçeneklerle Karşılaştırma: Bulduğumuz $f(2) = 4$ değeri, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
