Bir $f(x)$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değeri, aşağıdaki formülle bulunur:
- $f_{ortalama} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$
Bu soruda verilenler:
- Fonksiyon: $f(x) = \sin(2x)$
- Aralık: $[a, b] = [0, \pi/2]$
Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
- Öncelikle aralığın uzunluğunu hesaplayalım: $b-a = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
- Ortalama değer formülünü yazalım: $f_{ortalama} = \frac{1}{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) dx$
Şimdi integral kısmını hesaplayalım: $\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) dx$
- Bu integrali çözmek için $u$-substitüsyonu (yerine koyma) yöntemini kullanalım.
- $u = 2x$ diyelim.
- İntegral sınırlarını da $u$ cinsinden değiştirmemiz gerekiyor:
- Alt sınır: $x=0$ iken $u = 2 \cdot 0 = 0$.
- Üst sınır: $x=\frac{\pi}{2}$ iken $u = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
- Bu durumda integralimiz $\int_{0}^{\pi} \sin(u) du$ haline gelir.
- $\sin(u)$'nun integrali $-\cos(u)$'dur.
- İntegrali hesaplayalım: $[-\cos(u)]_{0}^{\pi}$
- Değerleri yerine koyalım: $(-\cos(\pi) - (-\cos(0)))$
- $\cos(\pi) = -1$ ve $\cos(0) = 1$ olduğunu biliyoruz.
- $(-(-1) - (-1)) = (1 + 1) = 2$.
Şimdi integralin sonucunu ortalama değer formülüne geri koyalım:
- $f_{ortalama} = \frac{2}{\pi} \cdot 2 = \frac{4}{\pi}$
Cevap B seçeneğidir.
