Hava direncinin önemsenmediği bir ortamda, yerden düşey yukarı atılan bir cismin çıkış süresi $t_1$, iniş süresi $t_2$ dir. Buna göre, $t_1$ ve $t_2$ arasındaki ilişki nedir?
A) $t_1 > t_2$Bu soruda, hava direncinin önemsenmediği bir ortamda, düşey yukarı atılan bir cismin hareketini inceliyoruz. Bu tür hareketlerde yer çekimi ivmesi ($g$) sabittir ve cismin hareket yönüne zıt veya aynı yönde etki eder. Hava direnci olmadığı için, cismin hareketinde enerji kaybı olmaz ve hareket simetrik bir yapıya sahip olur.
Cisim yerden $v_0$ ilk hızıyla yukarı doğru atıldığında, yer çekimi ivmesi $g$ aşağı doğru etki ettiği için cismin hızı sürekli azalır. Cisim en tepe noktasına ulaştığında anlık hızı sıfır olur. Bu noktaya ulaşma süresi $t_1$'dir.
Hareket denklemlerinden birini kullanarak bu durumu ifade edebiliriz: $v = v_0 - gt$.
En tepe noktasında son hız ($v$) sıfır olduğu için:
$0 = v_0 - gt_1$
Buradan çıkış süresini buluruz: $t_1 = \frac{v_0}{g}$.
Cismin çıktığı maksimum yükseklik ($h_{max}$) ise $h_{max} = v_0 t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ veya $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ denklemleriyle bulunabilir.
Cisim en tepe noktasından (hızı sıfır) yere doğru serbest düşmeye başlar. Bu noktadan yere düşene kadar geçen süre $t_2$'dir. Bu hareket sırasında cismin ilk hızı $v_0' = 0$ olur ve yer çekimi ivmesi $g$ cismin hareket yönünde etki ettiği için hızı sürekli artar.
Cismin düştüğü mesafe, çıktığı maksimum yükseklik ($h_{max}$) ile aynıdır. Serbest düşme hareketinin denkleminden faydalanabiliriz: $h = v_0' t + \frac{1}{2}gt^2$.
Burada $h = h_{max}$ ve $v_0' = 0$ olduğu için:
$h_{max} = 0 \cdot t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2$
$h_{max} = \frac{1}{2}gt_2^2$.
Şimdi çıkış ve iniş hareketlerini birleştirelim. Yukarı çıkarken ulaşılan maksimum yükseklik ile aşağı inerken kat edilen mesafe aynıdır ($h_{max}$).
Çıkış hareketinden $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca $v_0 = gt_1$ idi. Bu $v_0$ değerini $h_{max}$ denkleminde yerine yazalım:
$h_{max} = \frac{(gt_1)^2}{2g} = \frac{g^2t_1^2}{2g} = \frac{1}{2}gt_1^2$.
Şimdi, iniş hareketinden bulduğumuz $h_{max}$ değeri ile çıkış hareketinden bulduğumuz $h_{max}$ değerini eşitleyelim:
$\frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_2^2$
Denklemin her iki tarafındaki $\frac{1}{2}g$ terimlerini sadeleştirdiğimizde:
$t_1^2 = t_2^2$
Süreler pozitif değerler olduğu için karekök aldığımızda:
$t_1 = t_2$
Bu sonuç, hava direncinin önemsenmediği durumlarda, bir cismin düşey yukarı çıkış süresinin, aynı noktadan düşey aşağı iniş süresine eşit olduğunu gösterir. Bu durum, yer çekimi ivmesinin sabit olmasından ve hareketin simetrik olmasından kaynaklanır.
Cevap C seçeneğidir.
