Aynı maddeden yapılmış, aynı kalınlıktaki X ve Y tellerinin boyları sırasıyla L ve 2L dir. Bu teller aynı kuvvetle gerildiğinde, uzama miktarları oranı $\frac{\Delta x_X}{\Delta x_Y}$ kaçtır?
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) 4
Sevgili öğrenciler, bu soruda maddelerin esneklik özelliklerini ve uzama miktarlarını inceleyeceğiz. Bir telin uzama miktarı, uygulanan kuvvete, telin ilk boyuna, kesit alanına ve yapıldığı malzemenin esneklik modülüne bağlıdır. Şimdi adım adım çözümleyelim:
- Esneklik Modülü (Young Modülü) Formülü: Bir telin uzama miktarını hesaplamak için kullanılan temel formül şudur:
$E = \frac{\text{Gerilme}}{\text{Birim Uzama}}$
Burada gerilme ($\sigma$) $\frac{F}{A}$ (Kuvvet / Kesit Alanı) ve birim uzama ($\epsilon$) $\frac{\Delta x}{L}$ (Uzama Miktarı / İlk Boy) olarak tanımlanır.
Bu durumda, formülü yeniden düzenlersek:
$E = \frac{F/A}{\Delta x/L} \Rightarrow E = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta x}$
- Uzama Miktarı ($\Delta x$) Formülünü Çıkarma: Yukarıdaki formülden uzama miktarını ($\Delta x$) yalnız bırakırsak:
$\Delta x = \frac{F \cdot L}{A \cdot E}$
Bu formül, bir telin ne kadar uzayacağını belirleyen tüm faktörleri içerir.
- Verilen Bilgileri Değerlendirme: Soruda verilen bilgilere göre, teller aynı maddeden yapıldığı için Esneklik Modülleri eşittir ($E_X = E_Y = E$). Aynı kalınlıkta oldukları için kesit alanları eşittir ($A_X = A_Y = A$). Tellerin boyları $L_X = L$ ve $L_Y = 2L$'dir. Son olarak, teller aynı kuvvetle gerildiği için uygulanan kuvvetler eşittir ($F_X = F_Y = F$).
- X Teli İçin Uzama Miktarı ($\Delta x_X$):
$\Delta x_X = \frac{F_X \cdot L_X}{A_X \cdot E_X}$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
$\Delta x_X = \frac{F \cdot L}{A \cdot E}$
- Y Teli İçin Uzama Miktarı ($\Delta x_Y$):
$\Delta x_Y = \frac{F_Y \cdot L_Y}{A_Y \cdot E_Y}$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
$\Delta x_Y = \frac{F \cdot (2L)}{A \cdot E} = 2 \cdot \frac{F \cdot L}{A \cdot E}$
- Uzama Miktarları Oranını Bulma: Şimdi $\frac{\Delta x_X}{\Delta x_Y}$ oranını hesaplayalım:
$\frac{\Delta x_X}{\Delta x_Y} = \frac{\frac{F \cdot L}{A \cdot E}}{2 \cdot \frac{F \cdot L}{A \cdot E}}$
Gördüğünüz gibi, pay ve paydadaki $\frac{F \cdot L}{A \cdot E}$ terimleri birbirini götürür.
$\frac{\Delta x_X}{\Delta x_Y} = \frac{1}{2}$
Bu durumda, X telinin uzama miktarının Y telinin uzama miktarına oranı $1/2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
