ort hız formülü Test 1

Bir araç, bir yolun yarısını 60 km/sa hızla, diğer yarısını 80 km/sa hızla gidiyor. Aracın tüm yol boyunca ortalama hızı kaç km/sa'tir?

A) 65
B) 68.57
C) 70
D) 72

Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu tür hız problemlerinde ortalama hızı bulmak için sadece hızları toplayıp ikiye bölmek doğru bir yaklaşım değildir. Çünkü araç, farklı hızlarda farklı süreler geçirmiş olabilir. Ortalama hız, her zaman toplam yolu toplam zamana bölerek bulunur. Şimdi bu heyecan verici problemi adım adım çözelim!

• Adım 1: Yolun Tamamını Belirleyelim.

  Soruda yolun yarısı dendiği için, matematiksel işlemleri kolaylaştırmak adına toplam yolu bir değişkenle ifade edelim. Toplam yolu $2D$ olarak kabul edelim. Bu durumda, yolun ilk yarısı $D$ kadar, ikinci yarısı da $D$ kadar olacaktır.

• Adım 2: Yolun İlk Yarısı İçin Geçen Zamanı Hesaplayalım.

  Aracın yolun ilk yarısını ($D$ kadar mesafeyi) 60 km/sa hızla gittiğini biliyoruz. Zamanı bulmak için "Yol = Hız x Zaman" formülünden "Zaman = Yol / Hız" formülünü kullanırız.

  • İlk yarıdaki yol ($D_1$) = $D$
  • İlk yarıdaki hız ($v_1$) = 60 km/sa
  • İlk yarıdaki zaman ($t_1$) = $D_1 / v_1 = D / 60$ saat.
• Adım 3: Yolun İkinci Yarısı İçin Geçen Zamanı Hesaplayalım.

  Aracın yolun ikinci yarısını ($D$ kadar mesafeyi) 80 km/sa hızla gittiğini biliyoruz.

  • İkinci yarıdaki yol ($D_2$) = $D$
  • İkinci yarıdaki hız ($v_2$) = 80 km/sa
  • İkinci yarıdaki zaman ($t_2$) = $D_2 / v_2 = D / 80$ saat.
• Adım 4: Toplam Zamanı Bulalım.

  Aracın tüm yolculuk boyunca harcadığı toplam zaman, ilk yarıda harcadığı zaman ile ikinci yarıda harcadığı zamanın toplamıdır.

  • Toplam Zaman ($T_{toplam}$) = $t_1 + t_2 = \frac{D}{60} + \frac{D}{80}$
  • Bu kesirleri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. 60 ve 80'in en küçük ortak katı (EKOK) 240'tır.
  • $T_{toplam} = \frac{4D}{240} + \frac{3D}{240} = \frac{4D + 3D}{240} = \frac{7D}{240}$ saat.
• Adım 5: Toplam Yolu Belirleyelim.

  Başlangıçta belirlediğimiz gibi, aracın katettiği toplam yol $2D$'dir.

  • Toplam Yol ($D_{toplam}$) = $D + D = 2D$.
• Adım 6: Ortalama Hızı Hesaplayalım.

  Şimdi en önemli adıma geldik! Ortalama hız formülünü kullanarak sonuca ulaşacağız:

  • Ortalama Hız ($v_{ort}$) = Toplam Yol / Toplam Zaman
  • $v_{ort} = \frac{2D}{\frac{7D}{240}}$
  • Kesirli ifadelerde bölme işlemi yaparken, bölen kesri ters çevirip çarparız:
  • $v_{ort} = 2D \times \frac{240}{7D}$
  • Burada $D$ değişkenleri birbirini götürecektir (sadeleşecektir):
  • $v_{ort} = \frac{2 \times 240}{7} = \frac{480}{7}$
  • Bu işlemi yaptığımızda yaklaşık olarak:
  • $v_{ort} \approx 68.5714...$ km/sa buluruz.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz değer B seçeneğindeki $68.57$ km/sa değerine en yakın olanıdır.

Cevap B seçeneğidir.