Aynı maddeden yapılmış, aynı sıcaklıktaki X ve Y silindirlerinin yükseklikleri sırasıyla h ve 2h'dir. Buna göre, silindirlerin yere uyguladıkları basınçlar oranı $P_X / P_Y$ kaçtır?
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) 4
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda katı cisimlerin yere uyguladığı basıncı inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözeceğiz.
- Basınç Kavramını Hatırlayalım: Bir katı cismin yere uyguladığı basınç, cismin ağırlığının yere temas eden yüzey alanına bölünmesiyle bulunur. Yani $P = F/A$ formülüyle ifade edilir. Burada $F$ kuvveti (genellikle cismin ağırlığı $mg$) ve $A$ ise temas yüzey alanıdır.
- Katı Silindirler İçin Basınç Formülü: Bir silindirin ağırlığı $W = mg$'dir. Kütle $m$, cismin yoğunluğu ($\rho$) ile hacminin ($V$) çarpımına eşittir ($m = \rho V$). Silindirin hacmi ise taban alanı ($A$) ile yüksekliğinin ($h$) çarpımıdır ($V = A h$). Bu bilgileri birleştirelim:
- $P = \frac{F}{A} = \frac{W}{A} = \frac{mg}{A}$
- $P = \frac{(\rho V)g}{A} = \frac{(\rho A h)g}{A}$
- Burada taban alanı $A$ sadeleşir ve katı bir cismin (özellikle düzgün geometrili ve tabanına oturan) yere uyguladığı basınç için çok önemli bir formül elde ederiz: $P = \rho h g$.
Bu formül bize, aynı maddeden yapılmış ve aynı yer çekimi ortamında bulunan cisimler için basıncın sadece yüksekliğe ($h$) bağlı olduğunu gösterir.
- Verilen Bilgileri Uygulayalım:
- X ve Y silindirleri aynı maddeden yapılmış, bu da yoğunluklarının ($\rho$) aynı olduğu anlamına gelir.
- Aynı sıcaklıkta olmaları da yoğunluklarının aynı olduğunu pekiştirir.
- Yer çekimi ivmesi ($g$) her iki silindir için de aynıdır.
- X silindirinin yüksekliği $h_X = h$.
- Y silindirinin yüksekliği $h_Y = 2h$.
- Her Bir Silindir İçin Basıncı Yazalım:
- X silindiri için basınç: $P_X = \rho h_X g = \rho h g$
- Y silindiri için basınç: $P_Y = \rho h_Y g = \rho (2h) g$
- Basınç Oranını Hesaplayalım: Şimdi $P_X / P_Y$ oranını bulalım:
- $\frac{P_X}{P_Y} = \frac{\rho h g}{\rho (2h) g}$
- Eşit olan $\rho$, $h$ ve $g$ terimlerini sadeleştirelim:
- $\frac{P_X}{P_Y} = \frac{1}{2}$
Buna göre, silindirlerin yere uyguladıkları basınçlar oranı $P_X / P_Y = 1/2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
