Bir fonksiyonun bir noktada dönüm noktasına sahip olması için, o noktada fonksiyonun içbükeyliğinin (konkavlığının) değişmesi gerekir. Yani, fonksiyon o noktadan önce yukarı doğru içbükeyken sonra aşağı doğru içbükey hale gelmeli ya da tam tersi olmalıdır. Matematiksel olarak, bir $x=a$ noktasının dönüm noktası olması için aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır:
- Fonksiyonun ikinci türevi $f''(x)$ o noktada sıfır olmalı veya tanımsız olmalıdır. Yani, $f''(a) = 0$ veya $f''(a)$ mevcut olmamalıdır.
- $x=a$ noktasının solunda ve sağında $f''(x)$ işaret değiştirmelidir. Yani, $f''(x)$'in işareti $x=a$ noktasından geçerken değişmelidir.
Şimdi her bir seçeneği bu kriterlere göre inceleyelim:
- A) $f(x) = x^2$
- Birinci türev: $f'(x) = 2x$
- İkinci türev: $f''(x) = 2$
- $f''(x) = 2$ olduğu için, ikinci türev hiçbir zaman sıfır olmaz ve işareti her zaman pozitiftir. Bu, fonksiyonun her zaman yukarı doğru içbükey olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $x=0$ noktasında bir dönüm noktası yoktur.
- B) $f(x) = x^3$
- Birinci türev: $f'(x) = 3x^2$
- İkinci türev: $f''(x) = 6x$
- $f''(x) = 0$ denklemini çözersek: $6x = 0 \Rightarrow x = 0$. Potansiyel dönüm noktamız $x=0$'dır.
- Şimdi $x=0$ noktasının etrafında $f''(x)$'in işaretini inceleyelim:
- $x < 0$ için (örneğin $x = -1$): $f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Fonksiyon aşağı doğru içbükeydir.
- $x > 0$ için (örneğin $x = 1$): $f''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Fonksiyon yukarı doğru içbükeydir.
- $x=0$ noktasında içbükeylik aşağıdan yukarıya doğru değiştiği için, $x=0$ bir dönüm noktasıdır.
- C) $f(x) = x^4$
- Birinci türev: $f'(x) = 4x^3$
- İkinci türev: $f''(x) = 12x^2$
- $f''(x) = 0$ denklemini çözersek: $12x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Potansiyel dönüm noktamız $x=0$'dır.
- Şimdi $x=0$ noktasının etrafında $f''(x)$'in işaretini inceleyelim:
- $x < 0$ için (örneğin $x = -1$): $f''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0$. Fonksiyon yukarı doğru içbükeydir.
- $x > 0$ için (örneğin $x = 1$): $f''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0$. Fonksiyon yukarı doğru içbükeydir.
- $x=0$ noktasında $f''(x)$ işaret değiştirmediği için (her iki tarafta da pozitif), $x=0$ bir dönüm noktası değildir. Bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
- D) $f(x) = x + 1$
- Birinci türev: $f'(x) = 1$
- İkinci türev: $f''(x) = 0$
- İkinci türev her zaman sıfır olduğu için, bu bir doğru denklemi olup içbükeyliği yoktur. Dolayısıyla, dönüm noktası da yoktur.
- E) $f(x) = e^x$
- Birinci türev: $f'(x) = e^x$
- İkinci türev: $f''(x) = e^x$
- $e^x$ ifadesi her zaman pozitif olduğu için ($e^x > 0$), ikinci türev hiçbir zaman sıfır olmaz ve işareti her zaman pozitiftir. Bu, fonksiyonun her zaman yukarı doğru içbükey olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $x=0$ noktasında bir dönüm noktası yoktur.
Yapılan incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = x^3$ fonksiyonunun $x=0$ noktasında içbükeylik değiştirdiği ve dolayısıyla bir dönüm noktasına sahip olduğu görülmüştür.
Cevap B seçeneğidir.
