Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum değerini bulmak için izlememiz gereken adımlar şunlardır:
- Fonksiyonun türevini alıp kritik noktaları buluruz. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır.
- Bulduğumuz kritik noktalardan, verilen aralık içinde olanları belirleriz.
- Fonksiyonun değerini, aralığın uç noktalarında ve aralık içindeki kritik noktalarda hesaplarız.
- Bu değerler arasından en büyüğü, fonksiyonun o aralıktaki mutlak maksimum değeridir.
Şimdi bu adımları $f(x) = x^3 - 3x + 2$ fonksiyonu ve $[-2, 2]$ aralığı için uygulayalım:
- Adım 1: Fonksiyonun türevini alıp kritik noktaları bulalım.
- Fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x + 2$.
- Türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3$.
- Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleyelim: $3x^2 - 3 = 0$.
- Denklemi çözelim:
- $3(x^2 - 1) = 0$
- $x^2 - 1 = 0$
- $(x-1)(x+1) = 0$
- Buradan $x = 1$ veya $x = -1$ kritik noktalarını buluruz.
- Adım 2: Kritik noktaların verilen aralıkta olup olmadığını kontrol edelim.
- Verilen aralık $[-2, 2]$'dir.
- $x = 1$ noktası $[-2, 2]$ aralığının içindedir.
- $x = -1$ noktası da $[-2, 2]$ aralığının içindedir.
- Her iki kritik nokta da değerlendirmeye alınacaktır.
- Adım 3: Fonksiyonun değerini kritik noktalarda ve aralığın uç noktalarında hesaplayalım.
- Aralığın uç noktaları:
- $x = -2$ için: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$.
- $x = 2$ için: $f(2) = (2)^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$.
- Kritik noktalar:
- $x = -1$ için: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
- $x = 1$ için: $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
- Adım 4: Hesaplanan değerler arasından en büyüğünü belirleyelim.
- Hesapladığımız değerler: $0, 4, 4, 0$.
- Bu değerler arasındaki en büyük değer $4$'tür.
Bu nedenle, $f(x) = x^3 - 3x + 2$ fonksiyonunun $[-2, 2]$ aralığındaki mutlak maksimum değeri $4$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
