Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, üçgenlerde benzerlik konusunu kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bir $ABC$ üçgenimiz var.
- $[DE]$ doğru parçası, $[BC]$ doğru parçasına paraleldir ($[DE] // [BC]$). Bu bilgi çok önemli!
- $D$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerindedir.
- $|AD|$ uzunluğunun $|DB|$ uzunluğuna oranı $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{2}{3}$ olarak verilmiş.
- $|DE|$ uzunluğu $10$ cm olarak verilmiş.
- Bizden $|BC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- 2. Benzer Üçgenleri Belirleyelim:
- $[DE] // [BC]$ olduğu için, $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir. Bunu şu şekilde düşünebiliriz:
- $\angle A$ açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
- $[DE] // [BC]$ olduğundan, yöndeş açılar eşittir: $\angle ADE = \angle ABC$ ve $\angle AED = \angle ACB$.
- Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (ADE üçgeni, ABC üçgenine benzerdir).
- 3. Benzerlik Oranını Bulalım:
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Yani:
$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} $
- Bize verilen oran $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{2}{3}$ idi. Bu ne anlama geliyor? Eğer $|AD| = 2k$ dersek, $|DB| = 3k$ olur (burada $k$ bir orantı sabitidir).
- Şimdi $|AB|$ uzunluğunu bulalım: $|AB| = |AD| + |DB| = 2k + 3k = 5k$.
- O zaman, benzerlik oranımız için gerekli olan $\frac{|AD|}{|AB|}$ oranını hesaplayabiliriz:
$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} $
- Demek ki, $\triangle ADE$ üçgeninin kenarları, $\triangle ABC$ üçgeninin kenarlarının $\frac{2}{5}$'i kadardır.
- 4. $|BC|$ Uzunluğunu Hesaplayalım:
- Benzerlik oranını kullanarak bildiğimiz kenar uzunluklarını yerine yazalım:
$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} $
- Bulduğumuz oranları ve verilen uzunlukları yerine koyalım:
$ \frac{2}{5} = \frac{10}{|BC|} $
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $|BC|$'yi bulalım:
$ 2 \cdot |BC| = 5 \cdot 10 $
$ 2 \cdot |BC| = 50 $
- Her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$ |BC| = \frac{50}{2} $
$ |BC| = 25 $ cm
Bu adımları takip ederek $|BC|$ uzunluğunu $25$ cm olarak bulduk. Gördüğünüz gibi, benzerlik konusu geometri problemlerinde bize çok yardımcı oluyor!
Cevap D seçeneğidir.
