Bir işi Ali $\frac{1}{12}$ günde, Veli $\frac{1}{15}$ günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte bu işin tamamını kaç günde bitirir?
A) $\frac{20}{3}$Sevgili öğrenciler, bu tür iş problemlerinde genellikle bir kişinin bir günde işin ne kadarını bitirdiğini buluruz. Sorudaki ifadeyi, "Ali bir günde işin $\frac{1}{12}$'sini bitiriyor" ve "Veli bir günde işin $\frac{1}{15}$'ini bitiriyor" şeklinde yorumlayarak ilerleyeceğiz. Bu, iş-havuz problemlerinin standart yorumudur.
Ali'nin 1 günde yaptığı iş miktarı: $A = \frac{1}{12}$ (işin $\frac{1}{12}$'si)
Veli'nin 1 günde yaptığı iş miktarı: $V = \frac{1}{15}$ (işin $\frac{1}{15}$'i)
İkisi birlikte çalıştığında, günlük yaptıkları iş miktarları toplanır:
Birlikte günlük iş oranı $= A + V = \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$
Bu kesirleri toplayabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekir. $12$ ve $15$'in en küçük ortak katı (EKOK) $60$'tır.
Kesirleri genişletelim:
$\frac{1}{12}$ kesrini $5$ ile genişletirsek: $\frac{1 \times 5}{12 \times 5} = \frac{5}{60}$
$\frac{1}{15}$ kesrini $4$ ile genişletirsek: $\frac{1 \times 4}{15 \times 4} = \frac{4}{60}$
Şimdi toplayabiliriz:
Birlikte günlük iş oranı $= \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60}$
Bu kesri sadeleştirelim. Hem $9$ hem de $60$, $3$'e bölünebilir:
Birlikte günlük iş oranı $= \frac{9 \div 3}{60 \div 3} = \frac{3}{20}$
Yani, Ali ve Veli birlikte 1 günde işin $\frac{3}{20}$'sini bitiriyorlar.
Eğer ikisi birlikte 1 günde işin $\frac{3}{20}$'sini bitiriyorsa, işin tamamını (yani $1$ birim işi) bitirme süresi, günlük iş oranının tersi olacaktır.
İşin tamamını bitirme süresi $= \frac{1}{\text{Birlikte günlük iş oranı}} = \frac{1}{\frac{3}{20}}$
Bir kesri $1$'e bölmek, o kesrin çarpmaya göre tersini almaktır:
İşin tamamını bitirme süresi $= \frac{20}{3}$ gün.
Bu durumda, Ali ve Veli birlikte bu işin tamamını $\frac{20}{3}$ günde bitirirler.
Cevap A seçeneğidir.
