AYT Polinomlar: Kaç Soru Çıkıyor? Soru Dağılımı ve Analizi Test 1

$P(x)$ polinomunun $(x-1)$ ile bölümünden kalan 3, $(x+2)$ ile bölümünden kalan -6'dır. Buna göre, $P(x)$ polinomunun $(x-1)(x+2)$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x+2$
B) $x-2$
C) $3x$
D) $-3x+6$
E) $-3x+3$

• Kalan Teoremini Hatırlayalım: Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır. Bu bilgi, polinom sorularında sıkça kullandığımız temel bir kuraldır.
• Verilen Bilgileri Uygulayalım:
  • $P(x)$ polinomunun $(x-1)$ ile bölümünden kalan 3 ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(1) = 3$'tür.
  • $P(x)$ polinomunun $(x+2)$ ile bölümünden kalan -6 ise, Kalan Teoremi'ne göre $P(-2) = -6$'dır.
• Bölümden Kalanın Derecesini Belirleyelim: Bir $P(x)$ polinomunu, derecesi $n$ olan bir polinoma böldüğümüzde, kalan polinomun derecesi en fazla $n-1$ olabilir. Biz $P(x)$ polinomunu $(x-1)(x+2)$ ile bölüyoruz. Bu çarpım, $x^2+x-2$ şeklinde ikinci dereceden (derecesi 2) bir polinomdur. Dolayısıyla, kalan polinomun derecesi en fazla 1 olabilir. Bu durumda kalan $ax+b$ şeklinde bir doğrusal polinomdur.
• Polinom Bölme Eşitliğini Yazalım: $P(x)$ polinomunu $(x-1)(x+2)$ ile böldüğümüzde bölüm $Q(x)$ ve kalan $ax+b$ olsun. Bu durumda polinom bölme eşitliğini şu şekilde yazabiliriz: $P(x) = Q(x) \cdot (x-1)(x+2) + ax+b$
• $x$ Değerlerini Yerine Koyarak Denklem Sistemini Oluşturalım: Şimdi, $P(1)=3$ ve $P(-2)=-6$ bilgilerini yukarıdaki eşitlikte kullanalım.
  • $x=1$ için: $P(1) = Q(1) \cdot (1-1)(1+2) + a(1)+b$ $P(1) = Q(1) \cdot (0)(3) + a+b$ $P(1) = a+b$ $3 = a+b$ (1. Denklem)
  • $x=-2$ için: $P(-2) = Q(-2) \cdot (-2-1)(-2+2) + a(-2)+b$ $P(-2) = Q(-2) \cdot (-3)(0) -2a+b$ $P(-2) = -2a+b$ $-6 = -2a+b$ (2. Denklem)
• Denklem Sistemini Çözelim: Elde ettiğimiz iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim: 1) $a+b = 3$ 2) $-2a+b = -6$ Birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım: $(a+b) - (-2a+b) = 3 - (-6)$ $a+b+2a-b = 3+6$ $3a = 9$ $a = 3$ Şimdi $a=3$ değerini birinci denklemde yerine koyalım: $3+b = 3$ $b = 0$
• Kalanı Belirleyelim: Kalan polinomumuz $ax+b$ idi. Bulduğumuz $a=3$ ve $b=0$ değerlerini yerine yazarsak: Kalan $= 3x+0 = 3x$

Cevap E seçeneğidir.