$P(x)$ bir polinom olmak üzere, $P(x^2) = x^4 - 3x^2 + 2$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^2 - 3x + 2$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir polinomun belirli bir dönüşüm sonrası halini biliyoruz ve polinomun kendisini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi görelim.
Bize $P(x^2) = x^4 - 3x^2 + 2$ eşitliği verilmiş. Yani, $P$ polinomunun içine $x$ yerine $x^2$ yazdığımızda elde ettiğimiz ifadeyi biliyoruz. Bizden istenen ise $P(x)$ polinomunun kendisini bulmak.
Eşitliğin sol tarafında $P(x^2)$ ifadesi var. Bu, $P$ polinomunun içine $x^2$ yazıldığı anlamına geliyor. Sağ taraftaki ifadeyi de $x^2$ cinsinden yazmaya çalışırsak, $P$ polinomunun yapısını daha kolay görebiliriz.
Sağ taraftaki ifade $x^4 - 3x^2 + 2$. Bu ifadede $x^4$ terimini $(x^2)^2$ olarak yazabiliriz. O halde eşitliği yeniden düzenleyelim:
$P(x^2) = (x^2)^2 - 3(x^2) + 2$
Şimdi, ifadeyi daha net görmek için $x^2$ yerine geçici olarak başka bir değişken kullanalım. Örneğin, $u = x^2$ olsun. Bu bir "değişken değiştirme" tekniğidir ve polinom sorularında sıkça kullanılır.
Eğer $u = x^2$ dersek, yukarıdaki eşitlik şu hale gelir:
$P(u) = u^2 - 3u + 2$
Artık $P(u)$ polinomunun ne olduğunu biliyoruz. $P(u) = u^2 - 3u + 2$. Bizden $P(x)$ polinomu istendiği için, $u$ yerine tekrar $x$ yazabiliriz. Çünkü $u$ sadece bir yer tutucu (dummy variable) idi.
Böylece, $P(x) = x^2 - 3x + 2$ elde ederiz.
Bulduğumuz $P(x) = x^2 - 3x + 2$ ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, bu ifadenin A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
