Boyutları 24 cm ve 36 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar, hiç boşluk kalmayacak şekilde yan yana ve üst üste konularak bir kare elde edilmek isteniyor. Bu şekilde elde edilebilecek en küçük karenin bir kenarı kaç cm'dir?
A) 60Bu problemde, belirli boyutlardaki dikdörtgen kartonları kullanarak bir kare oluşturmak istiyoruz. Üstelik bu karenin en küçük olmasını istiyoruz. Gelin bu problemi adım adım nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Elimizde 24 cm ve 36 cm boyutlarında dikdörtgen kartonlar var. Bu kartonları yan yana ve üst üste dizerek büyük bir kare oluşturacağız. Karenin özelliği, tüm kenarlarının eşit uzunlukta olmasıdır. Kartonları dizdiğimizde, karenin bir kenarı hem 24 cm'nin hem de 36 cm'nin katı olmalıdır. Çünkü 24 cm'lik kenarlar yan yana dizildiğinde toplam uzunluk 24'ün bir katı olacak, 36 cm'lik kenarlar üst üste dizildiğinde ise toplam uzunluk 36'nın bir katı olacaktır.
Karenin kenar uzunluğu hem 24'ün hem de 36'nın bir katı olmalı. Ayrıca bizden en küçük kare istendiği için, bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK veya İngilizce adıyla LCM - Least Common Multiple) bulmamız gerekiyor.
24 ve 36 sayılarının EKOK'unu bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. En yaygın yöntemlerden biri, sayıların asal çarpanlarına ayırarak bulmaktır.
1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
24'ün asal çarpanları: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$
36'nın asal çarpanları: $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üssünü alıp çarparız:
2 asal çarpanı için en büyük üs $2^3$ (yani 8)
3 asal çarpanı için en büyük üs $3^2$ (yani 9)
EKOK $(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$
2. Katları Yazma Yöntemi:
Sayıların katlarını yazarak ortak olan en küçüğünü bulabiliriz:
24'ün katları: 24, 48, 72, 96, ...
36'nın katları: 36, 72, 108, ...
Gördüğümüz gibi, 24 ve 36'nın en küçük ortak katı 72'dir.
Bulduğumuz 72 cm, elde edilebilecek en küçük karenin bir kenar uzunluğudur. Bu, şu anlama gelir:
Karenin yatay kenarı boyunca 24 cm'lik kartonlardan $72 \div 24 = 3$ tane yan yana dizilir.
Karenin dikey kenarı boyunca 36 cm'lik kartonlardan $72 \div 36 = 2$ tane üst üste dizilir.
Böylece 72 cm x 72 cm boyutlarında bir kare elde etmiş oluruz.
Bu durumda, elde edilebilecek en küçük karenin bir kenarı 72 cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
