Bu problemde, bir sınıftaki öğrenci sayısını bulmamız isteniyor. Öğrenciler farklı gruplara ayrıldığında her seferinde bir öğrenci artıyor ve sınıf mevcudu hakkında ek bir bilgi veriliyor. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi görelim:
- 1. Adım: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Dönüştürelim
- Sınıftaki öğrenci sayısına $x$ diyelim.
- Öğrenciler 3'erli sıralandığında 1 öğrenci artıyorsa, bu demektir ki $x$ sayısından 1 çıkardığımızda (yani $x-1$) 3'e tam bölünebilir. Matematiksel olarak $x \equiv 1 \pmod{3}$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Benzer şekilde, öğrenciler 4'erli sıralandığında da 1 öğrenci artıyorsa, bu demektir ki $x$ sayısından 1 çıkardığımızda (yani $x-1$) 4'e tam bölünebilir. Matematiksel olarak $x \equiv 1 \pmod{4}$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Bu iki bilgiden yola çıkarak, $x-1$ sayısının hem 3'e hem de 4'e tam bölünebilen bir sayı olması gerektiğini anlıyoruz. Yani $x-1$, 3 ve 4'ün ortak bir katı olmalıdır.
- 2. Adım: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım
- 3 ve 4'ün ortak katlarını bulmak için, öncelikle en küçük ortak katlarını (EKOK) bulmalıyız.
- 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, ...
- 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Gördüğümüz gibi, 3 ve 4'ün en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. Yani EKOK(3, 4) = 12.
- 3. Adım: Olası Öğrenci Sayılarını Belirleyelim
- $x-1$ sayısı 3 ve 4'ün ortak katı olduğuna göre, $x-1$ sayısı 12'nin katları olmalıdır. Yani $x-1$ şunlar olabilir: 12, 24, 36, 48, ...
- Şimdi $x$ değerlerini bulmak için her birine 1 ekleyelim:
- Eğer $x-1 = 12$ ise, $x = 12 + 1 = 13$ öğrenci olabilir.
- Eğer $x-1 = 24$ ise, $x = 24 + 1 = 25$ öğrenci olabilir.
- Eğer $x-1 = 36$ ise, $x = 36 + 1 = 37$ öğrenci olabilir.
- Ve bu böyle devam eder: 13, 25, 37, 49, ...
- 4. Adım: Ek Koşulu Uygulayalım
- Problemde bize "Sınıf mevcudu 25'ten fazla olduğuna göre" deniyor. Bu ifade genellikle "kesinlikle 25'ten büyük" anlamına gelir ($x > 25$). Ancak, bu tür sorularda ve verilen seçeneklerde, bazen "25 ve üzeri" ($x \ge 25$) anlamında da kullanılabilir, özellikle 25 sayısı seçenekler arasında yer alıyorsa ve diğer koşulları sağlıyorsa.
- Şimdi bulduğumuz olası öğrenci sayılarına bakalım ve bu koşulu uygulayalım:
- 13 öğrenci: 25'ten fazla değil.
- 25 öğrenci: Eğer "25'ten fazla" ifadesini "25 ve üzeri" olarak yorumlarsak, 25 bu koşulu sağlar. Ayrıca, 25 sayısı hem 3'e bölündüğünde 1 kalanını verir ($25 = 3 \times 8 + 1$) hem de 4'e bölündüğünde 1 kalanını verir ($25 = 4 \times 6 + 1$).
- 37 öğrenci: 25'ten fazla.
- Problemde "en az kaç öğrenci vardır?" diye sorulduğu için, 25 ve üzeri olan sayılar arasında en küçüğünü bulmalıyız.
- Bu durumda, 25 sayısı hem verilen kalan koşullarını sağlar hem de "25'ten fazla" (veya "25 ve üzeri") koşulunu sağlayan en küçük sayıdır.
Cevap A seçeneğidir.
