Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir yayı sıkıştırmak için harcanan enerji ile sıkışma miktarı arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Yayların sıkıştırılması veya gerilmesi durumunda depoladığı enerjiye yay potansiyel enerjisi denir. Bu enerji, yayın esneklik sabiti ve sıkışma (veya gerilme) miktarının karesiyle doğru orantılıdır.
Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- 1. Adım: Yay potansiyel enerjisi formülünü hatırlayalım.
Bir yayı $x$ kadar sıkıştırmak veya germek için gereken enerji (veya yayda depolanan potansiyel enerji) aşağıdaki formülle bulunur:
$E = \frac{1}{2}kx^2$
Burada:
- $E$: Yayda depolanan enerji (Joule)
- $k$: Yayın esneklik sabiti (N/m)
- $x$: Yayın sıkışma veya gerilme miktarı (metre)
- 2. Adım: Verilen ilk durumu formüle uygulayalım.
Soruda, yayı $5$ cm sıkıştırmak için $10$ J enerji gerektiği belirtilmiş. Bu bilgiyi formülümüze yazalım:
$E_1 = 10$ J
$x_1 = 5$ cm
$10 = \frac{1}{2}k(5)^2$
$10 = \frac{1}{2}k(25)$
Bu denklemden $k$ değerini bulabiliriz, ancak daha pratik bir yol izleyebiliriz. Enerjinin sıkışma miktarının karesiyle orantılı olduğuna dikkat edelim.
- 3. Adım: Enerji ve sıkışma miktarı arasındaki orantıyı kullanalım.
Enerji formülünde $\frac{1}{2}k$ kısmı sabit olduğuna göre, enerji sıkışma miktarının karesiyle doğru orantılıdır ($E \propto x^2$). Bu durumda, iki farklı sıkışma durumu için enerjiler arasındaki oranı yazabiliriz:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2}kx_2^2}{\frac{1}{2}kx_1^2}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{x_2^2}{x_1^2}$
Veya daha basitçe:
$E_2 = E_1 \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$
- 4. Adım: İkinci durum için enerjiyi hesaplayalım.
Şimdi verilen değerleri bu orantı formülüne yerleştirelim:
$E_1 = 10$ J
$x_1 = 5$ cm
$x_2 = 10$ cm
$E_2 = 10 \text{ J} \times \left(\frac{10 \text{ cm}}{5 \text{ cm}}\right)^2$
$E_2 = 10 \text{ J} \times (2)^2$
$E_2 = 10 \text{ J} \times 4$
$E_2 = 40$ J
Yani, aynı yayı $10$ cm sıkıştırmak için $40$ J enerji gerekmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
