Alanı $36 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları birer doğal sayıdır. Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(Dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilmiştir.)
A) $24 \text{ cm}$
B) $26 \text{ cm}$
C) $30 \text{ cm}$
D) $32 \text{ cm}$
Sevgili öğrenciler, bu problemde alanı belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, çevre uzunluğunun alabileceği farklı değerleri inceleyeceğiz. Ardından, verilen seçeneklerden hangisinin mümkün olmadığını bulacağız.
-
Adım 1: Dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini hatırlayalım.
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
- Alanı: $A = a \times b$
- Çevresi: $P = 2 \times (a + b)$
Soruda bize dikdörtgenin alanının $36 \text{ cm}^2$ olduğu ve kenar uzunluklarının birer doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Yani $a \times b = 36$ olmalı ve $a, b \in \mathbb{N}$ (doğal sayılar) olmalıdır.
-
Adım 2: Alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan tüm dikdörtgenleri bulalım.
Bu, $36$ sayısının doğal sayı çarpan çiftlerini bulmak anlamına gelir:
- $1 \times 36 = 36 \implies (a=1, b=36)$
- $2 \times 18 = 36 \implies (a=2, b=18)$
- $3 \times 12 = 36 \implies (a=3, b=12)$
- $4 \times 9 = 36 \implies (a=4, b=9)$
- $6 \times 6 = 36 \implies (a=6, b=6)$ (Bu özel bir dikdörtgen olan karedir.)
-
Adım 3: Her bir dikdörtgen için çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Yukarıda bulduğumuz her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu $P = 2 \times (a + b)$ formülüyle hesaplayalım:
- Eğer $a=1 \text{ cm}$ ve $b=36 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$.
- Eğer $a=2 \text{ cm}$ ve $b=18 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$.
- Eğer $a=3 \text{ cm}$ ve $b=12 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$.
- Eğer $a=4 \text{ cm}$ ve $b=9 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$.
- Eğer $a=6 \text{ cm}$ ve $b=6 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$.
-
Adım 4: Hesapladığımız çevre uzunluklarını seçeneklerle karşılaştıralım.
Bulduğumuz olası çevre uzunlukları: $74 \text{ cm}$, $40 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$, $24 \text{ cm}$.
Seçenekler ise şunlardır:
- A) $24 \text{ cm}$ (Mümkün, $a=6, b=6$ için)
- B) $26 \text{ cm}$ (Mümkün, $a=4, b=9$ için)
- C) $30 \text{ cm}$ (Mümkün, $a=3, b=12$ için)
- D) $32 \text{ cm}$ (Hesapladığımız olası çevre uzunlukları arasında $32 \text{ cm}$ yoktur.)
Bu durumda, $32 \text{ cm}$ alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu olamaz.
Cevap D seçeneğidir.
