Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için dikdörtgenin alanı ve çevre formüllerini hatırlamamız ve kenar uzunluklarının doğal sayı olma şartını kullanmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir dikdörtgenin alanı $36 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş. Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayılar olmalıdır. Bizden istenen, bu şartlara uyan dikdörtgenlerin çevre uzunluklarının kaç farklı değer alabileceğidir.
Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun:
Alanı: $A = a \times b$
Çevresi: $P = 2 \times (a + b)$
Soruda alanın $36 \text{ cm}^2$ olduğu belirtildiğine göre, $a \times b = 36$ olmalıdır. Ayrıca $a$ ve $b$ doğal sayılar (yani $1, 2, 3, ...$) olmak zorundadır.
Kenar uzunlukları doğal sayı olduğu için, $36$'nın çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Bu çarpanlar, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil edecektir. Her bir çift için $a \le b$ kabul ederek tekrarları önleyelim:
Eğer $a = 1$ ise, $b = 36$ ($1 \times 36 = 36$)
Eğer $a = 2$ ise, $b = 18$ ($2 \times 18 = 36$)
Eğer $a = 3$ ise, $b = 12$ ($3 \times 12 = 36$)
Eğer $a = 4$ ise, $b = 9$ ($4 \times 9 = 36$)
Eğer $a = 6$ ise, $b = 6$ ($6 \times 6 = 36$)
Bu durumda, kenar uzunlukları için $5$ farklı doğal sayı çifti bulduk: $(1, 36)$, $(2, 18)$, $(3, 12)$, $(4, 9)$ ve $(6, 6)$.
Şimdi bulduğumuz her bir kenar çifti için çevre uzunluğunu $P = 2 \times (a + b)$ formülünü kullanarak hesaplayalım:
Kenarlar $(1, 36)$ ise: $P = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$
Kenarlar $(2, 18)$ ise: $P = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$
Kenarlar $(3, 12)$ ise: $P = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$
Kenarlar $(4, 9)$ ise: $P = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$
Kenarlar $(6, 6)$ ise: $P = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$
Hesapladığımız çevre uzunlukları şunlardır: $74, 40, 30, 26, 24$.
Gördüğümüz gibi, tüm bu değerler birbirinden farklıdır. Bu durumda, çevre uzunluğu $5$ farklı değer alabilir.
Cevap C seçeneğidir.
