Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, alanı belirli olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğunun hangi değerleri alabileceğini bulmamız isteniyor. Daha sonra verilen seçeneklerden hangisinin bu dikdörtgenin çevre uzunluğu olamayacağını belirleyeceğiz.
- Öncelikle, bir dikdörtgenin alan formülünü hatırlayalım. Alan, kenar uzunluklarının çarpımıdır. Yani, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olan bir dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ şeklindedir.
- Soruda bize alanın $48 \text{ cm}^2$ olduğu ve kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilmiş. Bu durumda, çarpımları $48$ olan tüm doğal sayı çiftlerini bulmamız gerekiyor. Bu çiftler, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil eder:
- $1 \times 48 = 48$
- $2 \times 24 = 48$
- $3 \times 16 = 48$
- $4 \times 12 = 48$
- $6 \times 8 = 48$
- Şimdi de, bir dikdörtgenin çevre uzunluğu formülünü hatırlayalım. Çevre, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır veya iki kenar uzunluğunun toplamının iki katıdır. Yani, $P = 2 \times (a + b)$ şeklindedir.
- Yukarıda bulduğumuz her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım:
- Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $48 \text{ cm}$ ise: Çevre $P = 2 \times (1 + 48) = 2 \times 49 = 98 \text{ cm}$.
- Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$ ise: Çevre $P = 2 \times (2 + 24) = 2 \times 26 = 52 \text{ cm}$.
- Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $16 \text{ cm}$ ise: Çevre $P = 2 \times (3 + 16) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm}$.
- Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: Çevre $P = 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = 32 \text{ cm}$.
- Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ ise: Çevre $P = 2 \times (6 + 8) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm}$.
- Bulduğumuz olası çevre uzunlukları şunlardır: $98 \text{ cm}$, $52 \text{ cm}$, $38 \text{ cm}$, $32 \text{ cm}$ ve $28 \text{ cm}$.
- Şimdi bu değerleri seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $28 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ olduğunda)
- B) $32 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olduğunda)
- C) $38 \text{ cm}$ (Mümkün, kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $16 \text{ cm}$ olduğunda)
- D) $42 \text{ cm}$ (Yaptığımız hesaplamalarda bu çevre uzunluğuna sahip bir dikdörtgen bulamadık.)
Bu durumda, $42 \text{ cm}$ çevre uzunluğu, alanı $48 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgen için mümkün değildir.
Cevap D seçeneğidir.
