Doğal sayıların asal çarpanları nedir? Test 1

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayı 100'den küçük olduğuna göre, bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 90
B) 75
C) 60
D) 45

Bu soruda, asal çarpanları belirli olan ve belirli bir sınırlamanın altında kalan bir sayının en büyük değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Asal Çarpanların Anlamını Kavrayalım
• Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayı mutlaka bu asal sayıların çarpımından oluşur. Yani, bu sayının içinde 2, 3 ve 5 asal çarpanları kesinlikle bulunmalıdır. Başka hiçbir asal çarpan (örneğin 7, 11 gibi) bu sayının içinde olamaz.
• Bu durumda, sayımız $2^a \times 3^b \times 5^c$ şeklinde olmalıdır, burada $a, b, c$ en az 1 olan pozitif tam sayılardır. Çünkü 2, 3 ve 5 bu sayının asal çarpanlarıdır, yani her biri en az bir kere çarpımda yer almalıdır.
• Adım 2: En Küçük Değeri Bulalım
• Eğer $a=1, b=1, c=1$ alırsak, yani her asal çarpanı birer kez kullanırsak, bu şartı sağlayan en küçük sayıyı buluruz:
• $2 \times 3 \times 5 = 30$
• Bu sayı 100'den küçüktür.
• Adım 3: Diğer Olası Değerleri Bulalım
• Şimdi, 2, 3 ve 5 dışındaki asal çarpanları kullanmadan, bu sayıyı 100'den küçük kalacak şekilde nasıl büyütebileceğimize bakalım. Bunu yapmak için, mevcut asal çarpanların (2, 3 veya 5) kuvvetlerini artırabiliriz.
• İlk bulduğumuz sayı 30 idi. Şimdi 30'u 2, 3 veya 5 ile çarparak yeni sayılar elde edelim ve 100 sınırını aşmamaya dikkat edelim:
• $30 \times 2 = 60$. Bu sayının asal çarpanları $2^2 \times 3 \times 5$'tir, yani yine sadece 2, 3 ve 5'tir. 60 sayısı 100'den küçüktür.
• $30 \times 3 = 90$. Bu sayının asal çarpanları $2 \times 3^2 \times 5$'tir, yani yine sadece 2, 3 ve 5'tir. 90 sayısı 100'den küçüktür.
• $30 \times 4 = 120$. Bu sayının asal çarpanları $2^3 \times 3 \times 5$'tir, yani yine sadece 2, 3 ve 5'tir. Ancak 120 sayısı 100'den büyük olduğu için bu değeri alamayız.
• $30 \times 5 = 150$. Bu sayının asal çarpanları $2 \times 3 \times 5^2$'dir, yani yine sadece 2, 3 ve 5'tir. Ancak 150 sayısı 100'den büyük olduğu için bu değeri de alamayız.
• Adım 4: En Büyük Değeri Belirleyelim
• Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz ve 100'den küçük olan sayılar şunlardır: 30, 60, 90.
• Bu sayılar arasında en büyük olanı 90'dır.

Cevap A seçeneğidir.