$ABC$ ve $DEF$ iki üçgendir. Aşağıdaki koşullardan hangisi $ABC$ üçgeninin $DEF$ üçgenine benzer olduğunu göstermek için tek başına yeterli değildir?
A) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B})=m(\widehat{E})$
B) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|}$
C) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$
D) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|}$
E) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni eştir.
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, iki üçgenin benzerliğini göstermek için verilen koşullardan hangisinin tek başına yeterli olmadığını bulmamız isteniyor. İki üçgenin benzer olması demek, açılarının eşit olması ve kenar uzunluklarının orantılı olması demektir. Benzerlik için üç temel kriterimiz vardır:
- Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kriteri: İki üçgenin karşılıklı birer açısı eşit ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
Şimdi seçenekleri bu kriterler ışığında inceleyelim:
- A) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B})=m(\widehat{E})$
- Bu koşul, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kriteri'dir. İki üçgenin iki açısı eşitse, üçüncü açıları da eşit olmak zorundadır ($180^\circ$ toplamından dolayı). Bu durumda üçgenler benzerdir.
- Bu koşul benzerlik için yeterlidir.
- B) $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|}$
- Bu koşul, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kriteri'dir. Üçgenlerin tüm karşılıklı kenarları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
- Bu koşul benzerlik için yeterlidir.
- C) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$
- Bu koşul, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kriteri'dir. Eşit olan açı ($m(\widehat{A})$ ve $m(\widehat{D})$) ile bu açıyı oluşturan kenarlar ($|AB|$ ve $|AC|$ ile $|DE|$ ve $|DF|$) orantılıdır. Bu durumda üçgenler benzerdir.
- Bu koşul benzerlik için yeterlidir.
- D) $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|}$
- Bu koşulda bir açı eşit verilmiş ($m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$) ve iki kenar orantılıdır ($|AB|$ ile $|DE|$ ve $|BC|$ ile $|EF|$). Ancak, orantılı verilen kenarlar, eşit olan açıyı oluşturan kenarlar değildir. Yani, $m(\widehat{A})$ açısı $|AB|$ ve $|AC|$ kenarları arasındadır, ancak orantılı verilen kenarlar $|AB|$ ve $|BC|$'dir. Bu durum, genellikle "Kenar-Kenar-Açı (KKA)" durumu olarak bilinir ve benzerlik (veya eşlik) için tek başına yeterli değildir.
- Bir karşı örnekle açıklayalım:
- Birinci üçgenimiz $\triangle ABC$ olsun. $m(\widehat{A}) = 30^\circ$, $|AB|=10$ birim ve $|BC|=6$ birim olsun.
- İkinci üçgenimiz $\triangle DEF$ olsun. $m(\widehat{D}) = 30^\circ$, $|DE|=5$ birim ve $|EF|=3$ birim olsun.
- Verilen koşulları kontrol edelim: $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})=30^\circ$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{6}{3} = 2$. Koşullar sağlanıyor.
- Şimdi bu üçgenlerin benzer olup olmadığını anlamak için diğer açılarına bakalım. Sinüs Teoremi'ni kullanarak $m(\widehat{C})$ ve $m(\widehat{F})$ açılarını bulmaya çalışalım:
- $\triangle ABC$ için: $\frac{|AB|}{\sin C} = \frac{|BC|}{\sin A} \implies \frac{10}{\sin C} = \frac{6}{\sin 30^\circ} \implies \frac{10}{\sin C} = \frac{6}{1/2} \implies \frac{10}{\sin C} = 12 \implies \sin C = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
- $\triangle DEF$ için: $\frac{|DE|}{\sin F} = \frac{|EF|}{\sin D} \implies \frac{5}{\sin F} = \frac{3}{\sin 30^\circ} \implies \frac{5}{\sin F} = \frac{3}{1/2} \implies \frac{5}{\sin F} = 6 \implies \sin F = \frac{5}{6}$.
- Görüldüğü gibi, $\sin C = \sin F = \frac{5}{6}$'dır. Ancak bir açının sinüsü $\frac{5}{6}$ olduğunda, bu açı hem dar açı (yaklaşık $56.4^\circ$) hem de geniş açı (yaklaşık $180^\circ - 56.4^\circ = 123.6^\circ$) olabilir.
- Yani, $m(\widehat{C})$ açısı yaklaşık $56.4^\circ$ veya $123.6^\circ$ olabilir. Aynı şekilde $m(\widehat{F})$ açısı da yaklaşık $56.4^\circ$ veya $123.6^\circ$ olabilir.
- Eğer $\triangle ABC$'de $m(\widehat{C}) \approx 56.4^\circ$ ve $\triangle DEF$'de $m(\widehat{F}) \approx 123.6^\circ$ seçilirse, bu durumda $m(\widehat{C}) \neq m(\widehat{F})$ olur. Dolayısıyla, üçgenlerin diğer açıları da eşit olmaz ve üçgenler benzer olmaz.
- Bu nedenle, bu koşul benzerlik için yeterli değildir.
- E) $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeni eştir.
- Eş üçgenler, aynı zamanda benzer üçgenlerdir. Eşlik, benzerliğin özel bir durumudur (benzerlik oranı $1$ olan durum). Eğer iki üçgen eş ise, kesinlikle benzerdirler.
- Bu koşul benzerlik için yeterlidir.
Yukarıdaki analizlere göre, $m(\widehat{A})=m(\widehat{D})$ ve $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|}$ koşulu, $ABC$ üçgeninin $DEF$ üçgenine benzer olduğunu göstermek için tek başına yeterli değildir.
Cevap D seçeneğidir.
