9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. senaryo Test 2

Bir $\triangle ABC$ üçgeninde, $AB$ kenarına paralel olan bir $DE$ doğru parçası çiziliyor ve $D$ noktası $AC$ üzerinde, $E$ noktası ise $BC$ üzerindedir. Eğer $|CD| = 3 \cdot |AD|$ ve $|CE| = 12$ birim ise, $|BC|$ kaç birimdir?

A) $15$

B) $16$

C) $18$

D) $20$

E) $24$

Bu soruda bir üçgen ve bu üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru parçasının oluşturduğu benzer üçgenler konusunu kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bir $\triangle ABC$ üçgenimiz var. $DE$ doğru parçası $AB$ kenarına paraleldir ($DE \parallel AB$). $D$ noktası $AC$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $BC$ kenarı üzerindedir. $|CD| = 3 \cdot |AD|$ eşitliği verilmiş olup, bu $CD$ uzunluğunun $AD$ uzunluğunun 3 katı olduğu anlamına gelir. $|CE| = 12$ birim olarak verilmiştir. Bizden $|BC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 2. Benzer Üçgenleri Belirleyelim:

  Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük bir üçgen oluşur ve bu küçük üçgen, büyük üçgene benzer olur. Bu duruma Temel Orantı Teoremi veya Thales Teoremi denir. Burada $DE \parallel AB$ olduğu için, $\triangle DEC$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir ($\triangle DEC \sim \triangle ABC$). Bu benzerliği şu şekilde açıklayabiliriz: $\angle C$ açısı her iki üçgen için de ortak açıdır. $DE \parallel AB$ olduğundan, yöndeş açılar eşittir: $\angle CDE = \angle CAB$ ve $\angle CED = \angle CBA$. Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre $\triangle DEC \sim \triangle ABC$ olur.

• 3. Benzerlik Oranını Bulalım:

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Yani, $\frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|}$ eşitliği geçerlidir. Bize verilen $|CD| = 3 \cdot |AD|$ bilgisini kullanarak $\frac{|CD|}{|CA|}$ oranını bulalım. $|CA|$ uzunluğu, $|CD|$ ve $|AD|$ uzunluklarının toplamıdır: $|CA| = |CD| + |AD|$. $|CD|$ yerine $3 \cdot |AD|$ yazarsak: $|CA| = 3 \cdot |AD| + |AD| = 4 \cdot |AD|$. Şimdi oranı hesaplayalım: $\frac{|CD|}{|CA|} = \frac{3 \cdot |AD|}{4 \cdot |AD|} = \frac{3}{4}$. Bu durumda, benzerlik oranımız $\frac{3}{4}$'tür.

• 4. $|BC|$ Uzunluğunu Hesaplayalım:

  Benzerlik oranını kullanarak $|CE|$ ve $|CB|$ arasındaki ilişkiyi yazabiliriz: $\frac{|CE|}{|CB|} = \frac{3}{4}$. Bize $|CE| = 12$ birim olarak verilmişti. Bu değeri yerine yazalım:

  $\frac{12}{|CB|} = \frac{3}{4}$

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $|CB|$'yi bulalım:

  $3 \cdot |CB| = 12 \cdot 4$

  $3 \cdot |CB| = 48$

  $|CB| = \frac{48}{3}$

  $|CB| = 16$ birim.

  Dolayısıyla, $|BC|$ uzunluğu $16$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.