9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 2

Bir $ABC$ üçgeni veriliyor. Bu üçgenin kenar uzunluklarını $\frac{1}{3}$ oranında küçülterek yeni bir $A'B'C'$ üçgeni oluşturulmak isteniyor. Bu işlem için aşağıdaki adımlardan hangisi kullanılamaz?

A) $ABC$ üçgeninin her bir kenarının orta noktalarını birleştirmek.

B) $ABC$ üçgeninin bir köşesinden geçen ve kenarlara paralel olan doğrular çizmek.

C) $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezini orijin kabul ederek, her bir köşenin koordinatlarını $\frac{1}{3}$ ile çarpmak.

D) $ABC$ üçgeninin bir köşesini sabit tutarak, diğer köşeleri bu köşeye olan uzaklıklarını $\frac{1}{3}$ oranında kısaltacak şekilde taşımak.

E) $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını cetvel ve pergel kullanarak $\frac{1}{3}$ oranında bölmek ve yeni üçgeni oluşturmak.

Bir üçgenin kenar uzunluklarını belirli bir oranda küçülterek yeni bir üçgen oluşturmak, aslında orijinal üçgene benzer bir üçgen elde etmek demektir. Bu benzerlik oranı, kenar uzunluklarının küçültüldüğü orana eşit olacaktır. Sorumuzda bu oran $\frac{1}{3}$ olarak verilmiştir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $ABC$ üçgeninin her bir kenarının orta noktalarını birleştirmek.

  Eğer bir üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirirsek, elde ettiğimiz yeni üçgene "orta üçgen" (medial triangle) denir. Orta üçgenin kenar uzunlukları, orijinal üçgenin kenar uzunluklarının yarısı kadardır. Yani, bu yöntemle $\frac{1}{2}$ oranında küçültülmüş bir üçgen elde ederiz. Soru bizden $\frac{1}{3}$ oranında küçültme istediği için bu yöntem kullanılamaz.

• B) $ABC$ üçgeninin bir köşesinden geçen ve kenarlara paralel olan doğrular çizmek.

  Bu ifade, benzerlik oluşturmak için kullanılan temel yöntemlerden birini tanımlar. Örneğin, $A$ köşesini sabit tutarak, $AB$ kenarı üzerinde $AB' = \frac{1}{3} AB$ olacak şekilde bir $B'$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde $AC' = \frac{1}{3} AC$ olacak şekilde bir $C'$ noktası belirleyebiliriz. Daha sonra $B'C'$ doğru parçasını çizeriz. Bu durumda, $\triangle AB'C'$ üçgeni, $\triangle ABC$ üçgenine benzer olur ve kenar uzunlukları $\frac{1}{3}$ oranında küçülmüş olur. Çünkü $B'C'$ doğru parçası $BC$ kenarına paralel olacaktır. Bu yöntem kullanılabilir.

• C) $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezini orijin kabul ederek, her bir köşenin koordinatlarını $\frac{1}{3}$ ile çarpmak.

  Bu işlem, bir öteleme (translation) ve ardından bir homothety (benzerlik dönüşümü) uygulamaktır. Ağırlık merkezini orijin kabul etmek, dönüşümün merkezini ağırlık merkezi yapmak anlamına gelir. Köşelerin koordinatlarını $\frac{1}{3}$ ile çarpmak, bu merkezden uzaklıkları $\frac{1}{3}$ oranında küçültmek demektir. Homothety, şeklin biçimini korur ve tüm kenar uzunluklarını verilen oran kadar değiştirir. Dolayısıyla, bu yöntemle kenar uzunlukları $\frac{1}{3}$ oranında küçültülmüş benzer bir üçgen elde edilir. Bu yöntem kullanılabilir.

• D) $ABC$ üçgeninin bir köşesini sabit tutarak, diğer köşeleri bu köşeye olan uzaklıklarını $\frac{1}{3}$ oranında kısaltacak şekilde taşımak.

  Bu yöntem, C seçeneğinde bahsedilen homothety'nin özel bir durumudur. Sabit tutulan köşe (örneğin $A$ köşesi) homothety'nin merkezi olur. Diğer köşelerin ($B$ ve $C$) bu köşeye olan uzaklıklarını $\frac{1}{3}$ oranında kısaltmak, $AB' = \frac{1}{3} AB$ ve $AC' = \frac{1}{3} AC$ olacak şekilde yeni $B'$ ve $C'$ noktalarını bulmak demektir. Bu durumda oluşan $\triangle AB'C'$ üçgeni, $\triangle ABC$ üçgenine benzer olur ve tüm kenar uzunlukları $\frac{1}{3}$ oranında küçülmüş olur ($B'C' = \frac{1}{3} BC$). Bu yöntem kullanılabilir.

• E) $ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını cetvel ve pergel kullanarak $\frac{1}{3}$ oranında bölmek ve yeni üçgeni oluşturmak.

  Cetvel ve pergel kullanarak bir doğru parçasını belirli bir oranda bölmek (örneğin, Thales teoremini kullanarak) temel bir geometrik çizimdir. Her bir kenarı $\frac{1}{3}$ oranında küçülterek yeni kenar uzunlukları elde edebiliriz. Örneğin, $AB$ kenarını $\frac{1}{3}$ oranında küçülterek $A'B'$ kenarını, $BC$ kenarını $\frac{1}{3}$ oranında küçülterek $B'C'$ kenarını ve $CA$ kenarını $\frac{1}{3}$ oranında küçülterek $C'A'$ kenarını oluşturabiliriz. Bu yeni kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulduğunda, bu üçgen orijinal üçgene benzer ve kenar uzunlukları $\frac{1}{3}$ oranında küçülmüş olacaktır. Bu yöntem kullanılabilir.

Yukarıdaki analizlere göre, A seçeneğindeki yöntem $\frac{1}{2}$ oranında bir küçültme sağlarken, diğer seçenekler $\frac{1}{3}$ oranında küçültme için uygun yöntemlerdir.

Cevap A seçeneğidir.