Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Verilen eşitsizlik $-x^2+4x-4 < 0$. Genellikle $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmak işimizi kolaylaştırır. Bu yüzden eşitsizliğin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım. Ancak unutmayın, bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir!
$(-1) \cdot (-x^2+4x-4) > (-1) \cdot 0$
Bu durumda eşitsizliğimiz:
$x^2-4x+4 > 0$ haline gelir.
Şimdi $x^2-4x+4$ ifadesini inceleyelim. Bu ifade tanıdık gelmeli! Bu bir tam kare ifadedir. Yani $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ formülüne uyar.
Burada $a=x$ ve $b=2$ dersek:
$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2-4x+4$ olur.
O zaman eşitsizliğimiz $(x-2)^2 > 0$ şeklini alır.
$(x-2)^2 > 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Bir sayının karesinin daima pozitif veya sıfır olduğunu biliyoruz. Yani $(x-2)^2 \ge 0$ her zaman doğrudur.
Bizden istenen ise $(x-2)^2$'nin sıfırdan kesinlikle büyük olmasıdır. Bu ifade ne zaman sıfır olur?
$(x-2)^2 = 0$ olduğunda $x-2 = 0$, yani $x=2$ olur.
Bu durumda, $x=2$ değeri için $(x-2)^2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0$ olur. Ancak bizden istenen $0 > 0$ değildir, bu yanlış bir ifadedir.
Dolayısıyla, $x=2$ değeri eşitsizliği sağlamaz.
$x=2$ dışındaki tüm gerçek sayılar için $(x-2)^2$ ifadesi kesinlikle pozitif olacaktır. Örneğin, $x=1$ için $(1-2)^2 = (-1)^2 = 1 > 0$. Veya $x=3$ için $(3-2)^2 = (1)^2 = 1 > 0$.
Sonuç olarak, $(x-2)^2 > 0$ eşitsizliği, $x=2$ hariç tüm gerçek sayılar için geçerlidir.
Bu durumu matematiksel olarak $\mathbb{R} - \{2\}$ şeklinde ifade ederiz. Yani "Gerçek sayılar kümesinden $2$ sayısını çıkar." anlamına gelir.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın C seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
