Bu denklem sistemini çözmek için, ikinci denklemi birinci denklemde yerine koyma yöntemini kullanacağız. Bu yöntem, bir değişkeni ortadan kaldırarak tek değişkenli bir denklem elde etmemizi sağlar, bu da çözümü kolaylaştırır.
Bize verilen denklemler şunlardır:
Denklem 2'deki $y$ ifadesini ($x+1$) alıp Denklem 1'deki $y$ yerine yazalım. Böylece $y$ değişkenini denklemden çıkarmış olacağız:
$x^2+(x+1)^2=25$
Şimdi elde ettiğimiz denklemi açıp düzenleyelim. Öncelikle $(x+1)^2$ ifadesini açmamız gerekiyor. $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ özdeşliğini kullanarak:
$(x+1)^2 = x^2+2(x)(1)+1^2 = x^2+2x+1$
Bu ifadeyi denklemimize geri yazalım:
$x^2+(x^2+2x+1)=25$
Benzer terimleri birleştirelim:
$2x^2+2x+1=25$
Denklemi sıfıra eşitlemek için $25$'i sol tarafa atalım:
$2x^2+2x+1-25=0$
$2x^2+2x-24=0$
Bu denklemi sadeleştirmek için her terimi $2$'ye bölebiliriz:
$x^2+x-12=0$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-12$ ve toplamları $1$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $4$ ve $-3$'tür.
$(x+4)(x-3)=0$
Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Buradan $x$ için iki farklı değer buluruz:
Şimdi bulduğumuz her bir $x$ değeri için, Denklem 2 ($y=x+1$) yardımıyla karşılık gelen $y$ değerini bulalım.
$y_1 = x_1+1 = -4+1 = -3$
Böylece ilk sıralı ikilimiz $(-4, -3)$ olur.
$y_2 = x_2+1 = 3+1 = 4$
Böylece ikinci sıralı ikilimiz $(3, 4)$ olur.
Denklem sistemini sağlayan sıralı ikililer kümesi, bulduğumuz bu iki çifti içerir:
$\{(-4,-3), (3,4)\}$
Bu küme, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
