11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. Senaryo Test 2

$x^2-y=3$ ve $x-y=1$ denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{(2,1), (-1,-2)\}$

B) $\{(1,2), (-2,-1)\}$

C) $\{(3,2), (-1,-2)\}$

D) $\{(2,1), (1,0)\}$

E) $\{(-2,-3), (1,0)\}$

Sevgili öğrenciler, bu tür denklem sistemlerini çözerken genellikle bir denklemden bir değişkeni çekip diğer denklemde yerine koyma (yerine koyma metodu) yöntemini kullanırız. Bu yöntem, sistemi daha basit bir hale getirerek çözüme ulaşmamızı sağlar. Hadi adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Denklemlerimizi Tanıyalım

  Bize verilen denklem sistemi şöyledir:

  • $x^2 - y = 3$ (Denklem 1)
  • $x - y = 1$ (Denklem 2)

  Amacımız, her iki denklemi de sağlayan $(x, y)$ sıralı ikililerini bulmaktır.

• Adım 2: Daha Basit Denklemden Bir Değişkeni Çekelim

  Denklem 2, Denklem 1'e göre daha basittir. Buradan $y$ değişkenini $x$ cinsinden ifade edebiliriz. Bu, yerine koyma metodu için ilk adımdır.

  $x - y = 1$

  $y$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafa $y$ ekleyip 1 çıkaralım:

  $x - 1 = y$

  Yani, $y = x - 1$. Bu ifadeyi aklımızda tutalım.

• Adım 3: Bulduğumuz İfadeyi Diğer Denklemde Yerine Koyalım

  Şimdi, $y = x - 1$ ifadesini Denklem 1'de ($x^2 - y = 3$) yerine yazalım. Bu sayede tek bilinmeyenli bir denklem elde etmiş olacağız.

  $x^2 - (x - 1) = 3$

  Parantezi dikkatlice açalım. Eksi işareti parantez içindeki her terimi etkiler:

  $x^2 - x + 1 = 3$

• Adım 4: Elde Ettiğimiz Denklemi Çözelim

  Şimdi elimizde bir ikinci dereceden denklem var. Bu denklemi çözerek $x$ değerlerini bulacağız. Denklemi standart forma ($ax^2 + bx + c = 0$) getirelim:

  $x^2 - x + 1 - 3 = 0$

  $x^2 - x - 2 = 0$

  Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-2$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-2$ ve $1$'dir.

  $(x - 2)(x + 1) = 0$

  Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:

  • $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
  • $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

  Böylece $x$ için iki farklı değer bulduk.

• Adım 5: Her Bir $x$ Değeri İçin Karşılık Gelen $y$ Değerini Bulalım

  Bulduğumuz $x$ değerlerini, Adım 2'de elde ettiğimiz $y = x - 1$ ifadesinde yerine koyarak karşılık gelen $y$ değerlerini bulacağız.

  • $x_1 = 2$ için:

    $y_1 = x_1 - 1 = 2 - 1 = 1$

    İlk çözüm ikilimiz: $(2, 1)$

  • $x_2 = -1$ için:

    $y_2 = x_2 - 1 = -1 - 1 = -2$

    İkinci çözüm ikilimiz: $(-1, -2)$

• Adım 6: Çözüm Kümesini Oluşturalım

  Bulduğumuz tüm çözüm ikililerini bir küme içinde yazarak çözüm kümesini oluştururuz.

  Çözüm Kümesi: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$

• Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz çözüm kümesi, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.