Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, verilen eşitsizlik $(x^2+4)(x-1) < 0$ şeklindedir. Bir çarpımın sıfırdan küçük olması için çarpanlardan birinin pozitif, diğerinin negatif olması gerekir.
- Eşitsizliği oluşturan çarpanları ayrı ayrı inceleyelim:
- Birinci çarpan: $x^2+4$
- İkinci çarpan: $x-1$
- Şimdi her bir çarpanın işaretini belirleyelim:
- Birinci çarpan ($x^2+4$): Bu ifadeyi incelediğimizde, $x^2$ terimi her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür (yani $x^2 \ge 0$). Dolayısıyla, $x^2+4$ ifadesi her zaman $0+4=4$ veya daha büyük bir değer alacaktır. Yani, $x^2+4 \ge 4$ olur. Bu da demektir ki, $x^2+4$ ifadesi her zaman pozitiftir. Hiçbir zaman sıfır veya negatif olamaz.
- İkinci çarpan ($x-1$): Bu çarpanın işaretini belirlemek için kökünü bulalım. $x-1=0$ denklemini çözdüğümüzde $x=1$ buluruz. Bu nokta, $x-1$ ifadesinin işaret değiştirdiği kritik noktadır.
- Eşitsizliğin tamamının $(x^2+4)(x-1) < 0$ olmasını istiyoruz.
- Birinci çarpan olan $x^2+4$ ifadesinin her zaman pozitif olduğunu bulmuştuk. Yani $(+)$ işaretlidir.
- O halde, çarpımın sonucunun sıfırdan küçük (negatif) olması için, ikinci çarpan olan $x-1$ ifadesinin negatif olması gerekir. Yani, $(+) \cdot (-) < 0$ olmalıdır.
- Bu durumda, $x-1 < 0$ eşitsizliğini çözmemiz yeterlidir.
- $x-1 < 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde, $x < 1$ sonucunu elde ederiz.
- Bu eşitsizliği sağlayan tüm $x$ değerleri, çözüm kümesini oluşturur. $x < 1$ ifadesi, $1$'den küçük tüm gerçek sayıları kapsar.
- Interval (aralık) gösterimiyle bu çözüm kümesi $(-\infty, 1)$ şeklinde yazılır.
- Şimdi seçeneklerimize bakalım:
- A) $(-\infty, 1)$
- B) $(1, \infty)$
- C) $(-2, 1)$
- D) $\emptyset$
- E) $(-2, 2)$
- Bulduğumuz çözüm kümesi A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
