11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo meb Test 1

$y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir. (Grafik: $x$-eksenini $(-2,0)$ ve $(2,0)$ noktalarında kesen, $y$-eksenini $(0,4)$ noktasında kesen, tepe noktası $(0,4)$ olan kolları aşağı doğru bir paraboldür.)
Buna göre, $y = f(-x) - 1$ fonksiyonunun grafiğinin $x$-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

A) $0$

B) $1$

C) $2$

D) $3$

E) $4$

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen bir fonksiyonun grafiği üzerinden yeni bir fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim.
• 1. Orijinal $f(x)$ Fonksiyonunun Denklemini Bulma:
  • Grafikte verilen $y = f(x)$ fonksiyonu bir paraboldür. $x$-eksenini kestiği noktalar $(-2,0)$ ve $(2,0)$ olduğuna göre, bu noktalar parabolün kökleridir.
  • Bir parabolün kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise denklemi $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ şeklinde yazılabilir.
  • Burada $x_1 = -2$ ve $x_2 = 2$ olduğundan, $f(x) = a(x-(-2))(x-2) = a(x+2)(x-2)$ olur.
  • İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi $f(x) = a(x^2-4)$ şeklinde sadeleştirebiliriz.
  • Parabolün $y$-eksenini kestiği nokta $(0,4)$ olarak verilmiştir. Bu nokta aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır. Bu bilgiyi kullanarak $a$ sabitini bulabiliriz. $x=0$ için $f(x)=4$ olmalıdır.
  • $f(0) = a(0^2-4) = 4$
  • $a(-4) = 4$
  • $-4a = 4 \Rightarrow a = -1$
  • Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun denklemi $f(x) = -1(x^2-4) = -x^2+4$ olarak bulunur.
• 2. $f(-x)$ Fonksiyonunu Bulma:
  • Şimdi bizden istenen $y = f(-x) - 1$ fonksiyonunun ilk parçası olan $f(-x)$'i bulalım.
  • $f(x)$ denkleminde her $x$ yerine $-x$ yazarak $f(-x)$'i elde ederiz.
  • $f(-x) = -(-x)^2+4$
  • $f(-x) = -(x^2)+4$ (Çünkü $(-x)^2 = x^2$)
  • Yani, $f(-x) = -x^2+4$. Bu özel durumda $f(x)$ ile $f(-x)$'in aynı olduğunu görüyoruz. Bu, $f(x)$'in $y$-eksenine göre simetrik (çift) bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
• 3. $y = f(-x) - 1$ Fonksiyonunun Denklemini Bulma:
  • Şimdi de $f(-x)$'ten $1$ çıkararak yeni fonksiyonun denklemini bulalım.
  • $y = f(-x) - 1 = (-x^2+4) - 1$
  • $y = -x^2+3$
• 4. Yeni Fonksiyonun $x$-eksenini Kestiği Noktaları Bulma:
  • Bir fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktaları bulmak için $y$ değerini $0$'a eşitleriz.
  • $0 = -x^2+3$
  • $x^2 = 3$
  • Bu denklemi çözdüğümüzde $x = \sqrt{3}$ veya $x = -\sqrt{3}$ değerlerini buluruz.
  • Yani, $y = f(-x) - 1$ fonksiyonunun grafiği $x$-eksenini $x_1 = \sqrt{3}$ ve $x_2 = -\sqrt{3}$ noktalarında kesmektedir.
• 5. Apsisler Toplamını Hesaplama:
  • $x$-eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı: $x_1 + x_2 = \sqrt{3} + (-\sqrt{3})$
  • Toplam $= 0$

Cevap A seçeneğidir.