Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
1. Adım: Eşitsizliği İnceleyelim ve Düzenleyelim
Verilen eşitsizlik: $-x^2 + 4x - 4 < 0$.
İkinci dereceden eşitsizliklerde genellikle $x^2$ teriminin katsayısının pozitif olması işlemleri kolaylaştırır. Bu nedenle, eşitsizliğin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım. Ancak unutmayalım ki bir eşitsizliği negatif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
$(-1) \cdot (-x^2 + 4x - 4) > (-1) \cdot 0$
Bu durumda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$x^2 - 4x + 4 > 0$
2. Adım: İfadeyi Çarpanlarına Ayıralım
Şimdi $x^2 - 4x + 4$ ifadesini inceleyelim. Bu ifade size tanıdık gelmeli. Bu, bir tam kare ifadenin açılımıdır. Genel olarak $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ formülünü hatırlarsak, $x^2 - 4x + 4$ ifadesinin $(x - 2)^2$ olduğunu görebiliriz.
Yani, eşitsizliğimiz şu şekle dönüşür:
$(x - 2)^2 > 0$
3. Adım: Eşitsizliğin Çözümünü Bulalım
Bir gerçek sayının karesi her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $(x - 2)^2 \ge 0$ ifadesi her zaman doğrudur. Ancak bizden istenen $(x - 2)^2 > 0$ olmasıdır.
Bu durum, $(x - 2)^2$ ifadesinin sıfır olmaması gerektiği anlamına gelir. $(x - 2)^2$ ifadesi ne zaman sıfır olur?
$(x - 2)^2 = 0$ olması için $x - 2 = 0$ olmalıdır. Buradan $x = 2$ sonucunu elde ederiz.
Demek ki, $x = 2$ olduğunda $(x - 2)^2 = 0$ olur. Eşitsizliğimizin $(x - 2)^2 > 0$ olmasını istediğimiz için, $x = 2$ değeri çözüm kümesine dahil edilemez.
$x = 2$ dışındaki tüm gerçek sayılar için $(x - 2)^2$ ifadesi pozitif olacaktır. Örneğin, $x=1$ için $(1-2)^2 = (-1)^2 = 1 > 0$. Veya $x=3$ için $(3-2)^2 = (1)^2 = 1 > 0$.
4. Adım: Çözüm Kümesini Belirleyelim
Sonuç olarak, $x = 2$ değeri hariç tüm gerçek sayılar için eşitsizlik sağlanır. Tüm gerçek sayılar kümesini $\mathbb{R}$ ile gösteririz. Bir kümeden belirli bir elemanı çıkarmak için $\setminus$ sembolünü kullanırız.
Bu durumda çözüm kümesi $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ olarak ifade edilir.
Cevap B seçeneğidir.
