11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo meb Test 1

$(x^2 - 4)(x+1) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-2, -1] \cup [2, \infty)$

B) $(-\infty, -2] \cup [-1, 2]$

C) $[-2, \infty)$

D) $[-1, 2]$

E) $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu eşitsizliği adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Öncelikle, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın köklerini (sıfır yapan değerlerini) bulmalıyız. Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirebileceği kritik noktalardır.
• İlk çarpanımız $x^2 - 4$. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimizde:
  • $x^2 - 4 = 0$
  • $(x-2)(x+2) = 0$ (İki Kare Farkı Özdeşliği)
  • Buradan kökler $x = 2$ ve $x = -2$ olarak bulunur.
• İkinci çarpanımız $x+1$. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimizde:
  • $x+1 = 0$
  • Buradan kök $x = -1$ olarak bulunur.
• Şimdi bulduğumuz tüm kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: $-2, -1, 2$. Bu noktalar, sayı doğrusunu aralıklara ayırır.
• Bu aralıklarda eşitsizliğin işaretini incelemek için bir işaret tablosu oluşturalım. Her bir aralıktan bir test değeri seçerek çarpanların ve dolayısıyla tüm ifadenin işaretini belirleyebiliriz.
• İşaret Tablosu:
  • Aralık $(-\infty, -2)$: Örneğin $x = -3$ seçelim.
    • $x^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ (pozitif)
    • $x+1 = -3 + 1 = -2$ (negatif)
    • Çarpım: $(+)(-) = -$ (negatif)
  • Aralık $(-2, -1)$: Örneğin $x = -1.5$ seçelim.
    • $x^2 - 4 = (-1.5)^2 - 4 = 2.25 - 4 = -1.75$ (negatif)
    • $x+1 = -1.5 + 1 = -0.5$ (negatif)
    • Çarpım: $(-)(-) = +$ (pozitif)
  • Aralık $(-1, 2)$: Örneğin $x = 0$ seçelim.
    • $x^2 - 4 = (0)^2 - 4 = -4$ (negatif)
    • $x+1 = 0 + 1 = 1$ (pozitif)
    • Çarpım: $(-)(+) = -$ (negatif)
  • Aralık $(2, \infty)$: Örneğin $x = 3$ seçelim.
    • $x^2 - 4 = (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ (pozitif)
    • $x+1 = 3 + 1 = 4$ (pozitif)
    • Çarpım: $(+)(+) = +$ (pozitif)
• Bizden istenen eşitsizlik $(x^2 - 4)(x+1) \ge 0$ olduğu için, ifadenin pozitif olduğu veya sıfır olduğu aralıkları ve noktaları almalıyız.
• İşaret tablosuna göre ifadenin pozitif olduğu aralıklar $(-2, -1)$ ve $(2, \infty)$'dir.
• Eşitsizlik $\ge 0$ olduğu için, kökler de çözüm kümesine dahil edilmelidir. Köklerimiz $-2, -1, 2$ idi.
• Bu durumda çözüm kümesi, pozitif olduğu aralıklar ile köklerin birleşimidir: $[-2, -1] \cup [2, \infty)$.

Cevap A seçeneğidir.