11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 3

Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
$x+y = 7$
$xy = 10$

A) $\{ (2, 5), (5, 2) \}$

B) $\{ (1, 6), (6, 1) \}$

C) $\{ (2, 5) \}$

D) $\{ (5, 2) \}$

E) $\{ (-2, -5), (-5, -2) \}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, iki bilinmeyenli ($x$ ve $y$) iki denklemden oluşan bir sistemin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Yani, hem birinci denklemi hem de ikinci denklemi aynı anda sağlayan tüm $(x, y)$ sıralı ikililerini bulacağız.

Denklem sistemimiz şu şekildedir:

• $x+y = 7$
• $xy = 10$

Bu tür denklem sistemlerini çözmek için genellikle yerine koyma (substitüsyon) yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Birinci denklemden bir değişkeni diğer cinsinden ifade edelim.

  İlk denklemimiz $x+y = 7$. Buradan $y$'yi $x$ cinsinden ifade etmek en kolayı olacaktır. Bunun için $x$'i eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $y = 7 - x$

  Bu ifadeyi şimdilik bir kenarda tutalım.

• Adım 2: Elde ettiğimiz ifadeyi ikinci denklemde yerine yazalım.

  İkinci denklemimiz $xy = 10$. Şimdi, Adım 1'de bulduğumuz $y = 7 - x$ ifadesini bu denklemdeki $y$ yerine yazalım:

  $x(7 - x) = 10$

• Adım 3: Elde ettiğimiz denklemi düzenleyip çözelim.

  Şimdi elimizde sadece $x$ bilinmeyenini içeren bir denklem var. Bu denklemi açalım ve düzenleyelim:

  $7x - x^2 = 10$

  Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Tüm terimleri eşitliğin bir tarafına toplayarak standart $ax^2 + bx + c = 0$ formuna getirelim. Genellikle $x^2$ teriminin katsayısını pozitif yapmayı tercih ederiz, bu yüzden tüm terimleri sağ tarafa atalım:

  $0 = x^2 - 7x + 10$

  veya

  $x^2 - 7x + 10 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $10$ ve toplamları $-7$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-2$ ve $-5$'tir. O halde denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(x - 2)(x - 5) = 0$

  Bu denklemin çözümleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:

  • $x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$
  • $x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

  Böylece $x$ için iki farklı değer bulduk.

• Adım 4: Bulduğumuz $x$ değerleri için karşılık gelen $y$ değerlerini bulalım.

  Adım 1'de bulduğumuz $y = 7 - x$ ifadesini kullanarak her bir $x$ değeri için $y$ değerini hesaplayalım:

  • Eğer $x_1 = 2$ ise:

    $y_1 = 7 - x_1 = 7 - 2 = 5$

    Bu durumda birinci çözüm ikilisi $(2, 5)$ olur.

  • Eğer $x_2 = 5$ ise:

    $y_2 = 7 - x_2 = 7 - 5 = 2$

    Bu durumda ikinci çözüm ikilisi $(5, 2)$ olur.

• Adım 5: Çözüm kümesini yazalım.

  Bulduğumuz sıralı ikililer $(2, 5)$ ve $(5, 2)$'dir. Bu ikililer, denklem sistemini sağlayan tüm çözümleri temsil eder. Çözüm kümesi, bu ikililerin bir kümesi olarak ifade edilir:

  Çözüm Kümesi $= \{ (2, 5), (5, 2) \}$

Bu çözüm kümesi, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.