11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 3

$x^2-4x-5 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-1, 5)$

B) $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

C) $[-1, 5]$

D) $(5, \infty)$

E) $(-\infty, -1)$

Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma

  Öncelikle, verilen $x^2-4x-5 < 0$ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmalıyız. Yani $x^2-4x-5 = 0$ denklemini çözeceğiz.

  Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-5$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-5$ ve $1$'dir.

  Denklemi çarpanlara ayırırsak:

  $(x-5)(x+1) = 0$

  Buradan köklerimizi buluruz:

  Eğer $x-5 = 0$ ise, $x_1 = 5$ olur.

  Eğer $x+1 = 0$ ise, $x_2 = -1$ olur.

  Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.

• 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma veya Parabol Yönünü Kullanma

  Bulduğumuz kökler ($-1$ ve $5$) sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$ ve $(5, \infty)$. Şimdi, $x^2-4x-5$ ifadesinin bu aralıklarda hangi işareti aldığını belirlemeliyiz.

  Bunun için iki yöntem kullanabiliriz:

  Yöntem A: Test Noktaları Seçme

  $x < -1$ aralığı için (örneğin $x=-2$ alalım):

  $(-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7$. Bu değer pozitif ($>0$).

  $-1 < x < 5$ aralığı için (örneğin $x=0$ alalım):

  $(0)^2 - 4(0) - 5 = -5$. Bu değer negatif ($<0$).

  $x > 5$ aralığı için (örneğin $x=6$ alalım):

  $(6)^2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7$. Bu değer pozitif ($>0$).

  Yöntem B: Parabolün Yönünü Kullanma

  $x^2-4x-5$ ifadesi bir parabolü temsil eder. $x^2$'nin katsayısı ($1$) pozitif olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur. Kolları yukarıya doğru olan bir parabol, kökleri arasında (yani x ekseninin altında) negatif değerler alır, köklerinin dışında (yani x ekseninin üstünde) ise pozitif değerler alır.

  Köklerimiz $-1$ ve $5$ olduğuna göre:

  Eğer $x < -1$ ise ifade pozitif ($+$) olur.

  Eğer $-1 < x < 5$ ise ifade negatif ($-$) olur.

  Eğer $x > 5$ ise ifade pozitif ($+$) olur.

• 3. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme

  Bizden istenen eşitsizlik $x^2-4x-5 < 0$ idi. Yani ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.

  Yukarıdaki işaret analizimize göre, ifade $-1$ ile $5$ arasındaki değerler için negatiftir.

  Bu aralık $(-1, 5)$ şeklinde gösterilir. Eşitsizlikte "küçük eşittir" ($ \le $) değil, "küçük" ($ < $) olduğu için kökler çözüm kümesine dahil edilmez ve açık aralık parantezleri kullanılır.

Bu durumda çözüm kümesi $(-1, 5)$'tir.

Cevap A seçeneğidir.