Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin çözüm kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulmamız isteniyor. Denklem sistemini adım adım çözerek sonuca ulaşalım.
Verilen denklem sistemi şöyledir:
- $x^2 + y^2 = 10$ (Birinci denklem)
- $y = 3x$ (İkinci denklem)
Şimdi çözüm adımlarına geçelim:
- Adım 1: İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyma.
- İkinci denklemde $y$'nin $3x$'e eşit olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi birinci denklemdeki $y$ yerine yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edebiliriz.
- $x^2 + (3x)^2 = 10$
- Adım 2: Denklemi basitleştirme ve $x$ değerlerini bulma.
- Şimdi denklemi açalım ve $x$ için çözelim:
- $x^2 + 9x^2 = 10$
- $10x^2 = 10$
- Her iki tarafı $10$'a bölelim:
- $x^2 = 1$
- Bu denklemi sağlayan $x$ değerleri $1$ ve $-1$'dir. Çünkü $1^2 = 1$ ve $(-1)^2 = 1$.
- Yani, $x_1 = 1$ ve $x_2 = -1$.
- Adım 3: Bulduğumuz $x$ değerlerine karşılık gelen $y$ değerlerini bulma.
- İkinci denklemimiz $y = 3x$ olduğu için, bulduğumuz her bir $x$ değeri için bir $y$ değeri hesaplayacağız.
- Durum 1: $x_1 = 1$ için $y$ değerini bulalım.
- $y_1 = 3 \cdot x_1 = 3 \cdot 1 = 3$
- Böylece ilk çözüm çiftimiz $(1, 3)$ olur.
- Durum 2: $x_2 = -1$ için $y$ değerini bulalım.
- $y_2 = 3 \cdot x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$
- Böylece ikinci çözüm çiftimiz $(-1, -3)$ olur.
- Adım 4: Çözüm kümesinin eleman sayısını belirleme.
- Denklem sistemini sağlayan iki farklı $(x, y)$ çifti bulduk: $(1, 3)$ ve $(-1, -3)$.
- Bu nedenle, çözüm kümesi $2$ elemanlıdır.
Bu adımları takip ettiğimizde, denklem sisteminin çözüm kümesinin $2$ elemanlı olduğunu görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
