Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2 - y = 5$
$x + y = 1$
A) $\{ (2,-1), (-3,4) \}$
B) $\{ (2,-1), (3,-2) \}$
C) $\{ (-2,3), (3,-2) \}$
D) $\{ (1,0), (-2,3) \}$
E) $\{ (0,1), (3,-2) \}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğrusal denklem ile bir ikinci dereceden denklemden oluşan bir denklem sisteminin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Bu tür sistemleri çözmek için genellikle yerine koyma yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Denklemleri Tanımlama ve Düzenleme
- Öncelikle verilen denklemleri yazalım:
- $x^2 - y = 5$ (Denklem 1)
- $x + y = 1$ (Denklem 2)
İkinci denklem (doğrusal olan) daha basittir ve $y$ değişkenini $x$ cinsinden ifade etmek için idealdir. $y$'yi yalnız bırakalım:
$y = 1 - x$
- Adım 2: Yerine Koyma İşlemi
- Şimdi, $y$ için bulduğumuz bu ifadeyi (yani $1 - x$) birinci denklemdeki $y$ yerine yazalım:
$x^2 - (1 - x) = 5$
- Adım 3: Elde Edilen İkinci Dereceden Denklemi Çözme
- Denklemi açalım ve düzenleyelim:
$x^2 - 1 + x = 5$
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart ikinci dereceden denklem formuna ($ax^2 + bx + c = 0$) getirelim:
$x^2 + x - 1 - 5 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $3$ ve $-2$'dir.
$(x + 3)(x - 2) = 0$
Buradan $x$ için iki farklı değer elde ederiz:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
- Adım 4: Bulunan $x$ Değerleri İçin $y$ Değerlerini Hesaplama
- Her bir $x$ değeri için, $y = 1 - x$ denklemini kullanarak karşılık gelen $y$ değerini bulalım:
- $x_1 = -3$ için:
$y_1 = 1 - (-3)$
$y_1 = 1 + 3$
$y_1 = 4$
İlk çözüm çiftimiz: $(-3, 4)$
- $x_2 = 2$ için:
$y_2 = 1 - 2$
$y_2 = -1$
İkinci çözüm çiftimiz: $(2, -1)$
- Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
- Denklem sisteminin çözüm kümesi, bulduğumuz tüm $(x, y)$ çiftlerinden oluşur:
$\{ (2, -1), (-3, 4) \}$
Bu çözüm kümesi, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
