Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Eşitsizliği Tanımlama
- Bize verilen eşitsizlik $x^2 - 6x + 10 < 0$ şeklindedir. Bu, bir ikinci dereceden ifadenin ne zaman sıfırdan küçük olduğunu bulmamız gerektiği anlamına gelir.
- Adım 2: İkinci Dereceden İfadeyi Analiz Etme
- Genel bir ikinci dereceden ifade $ax^2 + bx + c$ şeklindedir. Bizim ifademizde $a=1$, $b=-6$ ve $c=10$'dur.
- İkinci dereceden bir ifadenin işaretini belirlemek için diskriminantına ($\Delta$) ve baş katsayısına ($a$) bakarız.
- Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır.
- Adım 3: Diskriminantı Hesaplama
- Verilen ifade için diskriminantı hesaplayalım:
- $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(10)$
- $\Delta = 36 - 40$
- $\Delta = -4$
- Adım 4: Diskriminant ve Baş Katsayıyı Yorumlama
- Diskriminant $\Delta = -4$ olduğu için, $\Delta < 0$'dır. Bu, $x^2 - 6x + 10 = 0$ denkleminin reel (gerçek) kökleri olmadığı anlamına gelir. Yani, parabol x eksenini kesmez.
- Baş katsayı $a=1$ olduğu için, $a > 0$'dır. Bu, parabolün kollarının yukarı doğru açık olduğu anlamına gelir.
- Adım 5: Eşitsizliğin İşaretini Belirleme
- Parabolün kolları yukarı doğru açık ($a>0$) ve x eksenini kesmiyor ($\Delta < 0$) ise, parabolün tamamı x ekseninin üzerinde yer alır.
- Bu durum, $x^2 - 6x + 10$ ifadesinin her zaman pozitif değerler alacağı anlamına gelir. Yani, tüm $x \in \mathbb{R}$ için $x^2 - 6x + 10 > 0$'dır.
- Adım 6: Çözüm Kümesini Belirleme
- Bizden istenen eşitsizlik $x^2 - 6x + 10 < 0$'dır. Ancak, yukarıdaki analizimiz sonucunda bu ifadenin her zaman pozitif olduğunu bulduk.
- Dolayısıyla, $x^2 - 6x + 10$ ifadesinin sıfırdan küçük olduğu hiçbir reel $x$ değeri yoktur.
- Bu durumda, eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir. Boş küme $\emptyset$ sembolü ile gösterilir.
Cevap B seçeneğidir.
