12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. Senaryo Test 1

Fonksiyon $f(x) = (x^2 + 1)^3$ olarak veriliyor. Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

A) $12$

B) $24$

C) $36$

D) $48$

E) $60$

Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen fonksiyonun türevini almamız ve ardından bu türev fonksiyonunda $x=1$ değerini yerine koymamız gerekmektedir. Fonksiyonumuz bir bileşke fonksiyon olduğu için zincir kuralını kullanacağız.

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama

Verilen fonksiyon $f(x) = (x^2 + 1)^3$ şeklindedir.

• Adım 2: Zincir Kuralını Uygulama

Zincir kuralı, $h(x) = g(u(x))$ şeklinde bir fonksiyonun türevini alırken kullanılır ve $h'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$ formülüyle ifade edilir.

Bizim fonksiyonumuz $f(x) = (x^2 + 1)^3$ için:

• İç fonksiyonu $u(x) = x^2 + 1$ olarak belirleyelim.
• Dış fonksiyonu $g(u) = u^3$ olarak belirleyelim.

Şimdi bu fonksiyonların türevlerini alalım:

• İç fonksiyonun türevi: $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$
• Dış fonksiyonun türevi: $g'(u) = \frac{d}{du}(u^3) = 3u^2$

Zincir kuralını uygulayarak $f'(x)$'i bulalım:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$

$f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot (2x)$

Bu ifadeyi düzenlersek:

$f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2$

• Adım 3: $f'(1)$ Değerini Hesaplama

Şimdi bulduğumuz türev fonksiyonunda $x=1$ değerini yerine koyalım:

$f'(1) = 6(1)((1)^2 + 1)^2$

$f'(1) = 6(1)(1 + 1)^2$

$f'(1) = 6(1)(2)^2$

$f'(1) = 6(1)(4)$

$f'(1) = 24$

Buna göre, $f'(1)$ değeri $24$'tür.

Cevap B seçeneğidir.