Bu soruda, $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının toplamının türevini, yani $(f+g)'(x)$ ifadesini bulmamız isteniyor. Türev alma kurallarını kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.
- Adım 1: Türev Alma Kurallarını Hatırlayalım
Bu soruyu çözmek için temel türev alma kurallarını bilmemiz gerekiyor:
- Kuvvet Kuralı: Eğer bir terim $ax^n$ şeklinde ise, türevi $anx^{n-1}$ olur. Örneğin, $x^5$'in türevi $5x^4$'tür.
- Sabit Kuralı: Bir sabit sayının (yani içinde $x$ değişkeni bulunmayan bir sayının) türevi $0$'dır. Örneğin, $2$'nin türevi $0$'dır.
- Toplam/Fark Kuralı: İki fonksiyonun toplamının veya farkının türevi, ayrı ayrı türevlerinin toplamına veya farkına eşittir. Yani, $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$'dir. Bu kural, işimizi oldukça kolaylaştıracaktır.
- Adım 2: $f(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım ($f'(x)$)
$f(x) = x^5 - 4x + 2$ fonksiyonunun her teriminin türevini ayrı ayrı alalım:
- $x^5$ teriminin türevi: Kuvvet kuralına göre $5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.
- $-4x$ teriminin türevi: Kuvvet kuralına göre $-4 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = -4x^0 = -4 \cdot 1 = -4$.
- $+2$ teriminin türevi: Sabit kuralına göre $0$.
Böylece, $f'(x) = 5x^4 - 4 + 0 = 5x^4 - 4$ olur.
- Adım 3: $g(x)$ Fonksiyonunun Türevini Bulalım ($g'(x)$)
$g(x) = 2x^4 + x^2 - 3$ fonksiyonunun her teriminin türevini ayrı ayrı alalım:
- $2x^4$ teriminin türevi: Kuvvet kuralına göre $2 \cdot 4 \cdot x^{4-1} = 8x^3$.
- $x^2$ teriminin türevi: Kuvvet kuralına göre $1 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 2x^1 = 2x$.
- $-3$ teriminin türevi: Sabit kuralına göre $0$.
Böylece, $g'(x) = 8x^3 + 2x - 0 = 8x^3 + 2x$ olur.
- Adım 4: $(f+g)'(x)$ İfadesini Bulalım
Toplam kuralına göre $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ olduğunu biliyoruz. Şimdi bulduğumuz $f'(x)$ ve $g'(x)$ ifadelerini toplayalım:
$(f+g)'(x) = (5x^4 - 4) + (8x^3 + 2x)$
Terimleri azalan kuvvet sırasına göre düzenleyerek yazarsak:
$(f+g)'(x) = 5x^4 + 8x^3 + 2x - 4$
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım
Bulduğumuz sonuç olan $5x^4 + 8x^3 + 2x - 4$ ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile tam olarak eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
