Aşağıdaki parçalı fonksiyon $x=1$ noktasında süreklidir.
$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + a, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 3x + 1, & x > 1 \end{cases}$
Buna göre, $a$ değeri kaçtır?
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$
Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=c$ noktasında sürekli olabilmesi için aşağıdaki üç şartın sağlanması gerekir:
- $f(c)$ tanımlı olmalıdır.
- $\lim_{x \to c^-} f(x)$ (sol limit) ve $\lim_{x \to c^+} f(x)$ (sağ limit) var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır. Yani $\lim_{x \to c} f(x)$ limiti var olmalıdır.
- $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ olmalıdır.
Bu soruda, fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, $x=1$ noktasındaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
- Fonksiyon değeri ($f(1)$):
Parçalı fonksiyonun tanımına göre, $x=1$ için $f(1) = 5$ olarak verilmiştir.
- Sol limit ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$):
$x < 1$ için $f(x) = 2x^2 + a$ ifadesini kullanırız. $x$ yerine $1$ yazarak sol limiti hesaplarız:
$\lim_{x \to 1^-} (2x^2 + a) = 2(1)^2 + a = 2(1) + a = 2 + a$.
- Sağ limit ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$):
$x > 1$ için $f(x) = 3x + 1$ ifadesini kullanırız. $x$ yerine $1$ yazarak sağ limiti hesaplarız:
$\lim_{x \to 1^+} (3x + 1) = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4$.
Fonksiyonun $x=1$ noktasında sürekli olabilmesi için sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Yani:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
Bu durumda, $2 + a = 4 = 5$ eşitliğinin sağlanması gerekir. Ancak $4 \neq 5$ olduğundan, soruda verilen fonksiyonun tanımında bir tutarsızlık bulunmaktadır. Yine de, soruda fonksiyonun sürekli olduğu belirtildiğinden ve bizden $a$ değerini bulmamız istendiğinden, $a$ değerini içeren sol limit ifadesini fonksiyon değerine eşitleyerek çözüme ulaşırız. Bu, bu tür sorularda genellikle beklenen yaklaşımdır.
- Sol limiti fonksiyon değerine eşitleyelim:
$2 + a = 5$
- $a$ değerini bulmak için denklemi çözelim:
$a = 5 - 2$
$a = 3$
Buna göre, $a$ değeri $3$ olmalıdır.
Cevap C seçeneğidir.
