Bir dikdörtgenin çevresi ve alanı ile ilgili bu problemi çözmek için adım adım ilerleyelim.
Bir dikdörtgenin iki farklı kenar uzunluğu vardır. Bu kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ diyelim.
Soruda dikdörtgenin çevresinin $24$ cm olduğu belirtilmiş. Dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır ve $P = 2(a+b)$ formülü ile bulunur.
Bu bilgiyi kullanarak bir denklem oluşturalım:
$2(a+b) = 24$ cm
Her iki tarafı $2$'ye bölersek:
$a+b = 12$ cm
Bu denklem, dikdörtgenin kenar uzunluklarının toplamının $12$ cm olduğunu gösterir.
Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır: $A = a \times b$.
Şimdi alanı tek bir değişkene bağlı olarak ifade edelim. $a+b=12$ denkleminden $b$'yi $a$ cinsinden yazabiliriz: $b = 12-a$.
Bu ifadeyi alan formülünde yerine koyalım:
$A = a \times (12-a)$
$A = 12a - a^2$
Elde ettiğimiz alan denklemi $A = -a^2 + 12a$, parabolik bir denklemdir ve grafiği aşağıya doğru açılan bir paraboldür. Bu tür bir fonksiyonun en büyük değeri, parabolün tepe noktasında (vertex) gerçekleşir.
Bir $Ax^2 + Bx + C$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$-koordinatı (burada $a$) $x = -B/(2A)$ formülü ile bulunur.
Bizim denklemimizde $A = -1$ ve $B = 12$ olduğundan:
$a = -12 / (2 \times -1)$
$a = -12 / -2$
$a = 6$ cm
Bu, alanın en büyük olacağı kenar uzunluğudur. Eğer $a=6$ ise, $b = 12-a = 12-6 = 6$ cm olur.
Önemli Not: Sabit bir çevreye sahip dikdörtgenler arasında alanı en büyük olan, bir karedir. Yani kenar uzunlukları birbirine eşit olmalıdır ($a=b$). Bu durumda $a+b=12$ ise $a+a=12 \Rightarrow 2a=12 \Rightarrow a=6$ ve $b=6$ bulunur.
Şimdi $a=6$ cm ve $b=6$ cm değerlerini alan formülünde yerine koyarak en büyük alanı bulalım:
$A = a \times b$
$A = 6 \times 6$
$A = 36$ $\text{cm}^2$
Bu dikdörtgenin alanının en büyük değeri $36$ $\text{cm}^2$dir.
Cevap C seçeneğidir.
